dyA.Ax. 问题：函数可微的条件是什么？如何求？即A=? 例如，函数y=x在点x处的改变量： △y=(x+△x)2-x=2x:Ax+(x)2 再如，函数y=x在点x,处的改变量：2x=6 晶 △y=(x。+△x)3-x -秋私 湖 =3x.△x+3x(△x)2+(△x) 3乐15
0 . x x dy A x = = 问题: 函数可微的条件是什么?如何求?即A=？ 2 2 0 0 = + − y x x x ( ) 2 0 = + 2x x ( x) 再如, 3 0 函数 y x x = 在点 处的改变量: 3 0 3 0 y = (x + x) − x 2 3 0 2 0 = + + 3x x 3 ( ) ( ) . x x x 例如, 2 0 函数 y x x = 在点 处的改变量: 0 0 2 x x x y = = 0 2 0 3 x x x y = =
可微的条件 函数f(x)在点x,可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导，且A=f'(x) 证(1)必要性f(x)在点x可微， 0(△x) △y=A·△x+0(△x), △x △x 则imAy-A+lim (△x) △r→0△X △x-→0 △x =A=f'(x) 即函数f(x)在点x,可导，且A=f'(x)
可微的条件 0 0 0 ( ) ( ) , ( ). f x x f x x A f x = 函数 在点 可微的充要条件是函 数 在点 处可导 且 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 0 = = A f x ( ) ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性·函数f(x)在点x可导， lim a=03 Cs ●】 =知-fx lim 即然-f0+ 从而△y=f'(x)·△x+·(△x),a→0(Ax→0)， =f'(xo)△x+o(△x), .函数f(x)在点x,可微，且f(x)=A .可导分可微 A=f(xo). 函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的 微分，记作y或df(x),即y=f'(x)△x
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x 0 0 = 函数 f x x f x A ( ) , ( ) . 在点 可微 且 0 = 可导 可微. ( ). A f x , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 0 lim 0 x → =