6.1微分方程的基本概念 6.1.1引例 6.1.2微分方程的基本概念 1.微分方程 2.微分方程的阶 3.线性微分方程 极秋秘 4.微分方程的解 5.微分方程的初始条件
6.1 微分方程的基本概念 6.1.1 引例 2.微分方程的阶 4.微分方程的解 6.1.2 微分方程的基本概念 1.微分方程 3.线性微分方程 5.微分方程的初始条件
6.1.1 引例 少例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为y=y(x) 根据题意有 =2x dⅸ 这就是曲线y=f(x)所满足的微分方程 对其两端积分可得dy=2x→∫d=∫2xd →y=∫2xd所以y=x2+C, 当x=时，y=2 求得C=1, 所以，所求曲线为y=x2+1
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x, y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) dy xdx = 2 当x =1时, y = 2 2 所以 y x C = + , 求得C =1, 2 所以,所求曲线为 y x = +1. x dx dy = 2 根据题意有 这就是曲线y=f (x)所满足的微分方程 对其两端积分可得 6.1.1 引例 = y xdx 2 = dy xdx 2
少例2质量为的物体，只受重力影响自由下落，试求 该物体下落的距离s应满足的微分方程. 解设物体自由下落的距离s和时间的关系为s=s④， 根据牛顿定律，所求未知函数s=s()应满足方程 d's 涵 dt2 =8 其中g为重力加速度
解 例2 质量为m的物体，只受重力影响自由下落，试求 该物体下落的距离 s 应满足的微分方程． 设物体自由下落的距离s和时间t的关系为s = s(t)， 根据牛顿定律，所求未知函数s = s(t) 应满足方程 g dt d s = 2 2 其中g为重力加速度
例3通过临床观察，人们发现在肿瘤生长初期，肿 瘤细胞增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系 数（相对增长率）为k，试建立该细胞数目在时刻 应满足的微分方程。 解设时刻t肿瘤细胞数目为n(t),根据题意可 以得到如下方程： n(t)=kn(t) y d's =2x 8 n'(t)=kn(t) d 以上三式都是含未知函数及其导数的关系式，统称 为微分方程
例3 通过临床观察，人们发现在肿瘤生长初期，肿 瘤细胞增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系 数（相对增长率）为k ，试建立该细胞数目在时刻t 应满足的微分方程。 解 设时刻 t 肿瘤细胞数目为 n ( t ) ，根据题意可 以得到如下方程： n t k n t ( ) = ( ) 以上三式都是含未知函数及其导数的关系式，统称 为微分方程. x dx dy = 2 g dt d s = 2 2 n t k n t ( ) = ( )
6.1.2微分方程的基本概念 1.微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 =2x d-s n()=kn() d y'=y, dt2 y"+2y'-3y=e*,(t2+x)dt+x=0, 实质】 联系自变量，未知函数以及未知函数的某 些导数（或微分）之间的关系式
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 2 3 , t + x dt + xdx = x y + y − y = e 实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某 些导数(或微分)之间的关系式. x dx dy = 2 6.1.2 微分方程的基本概念 1. 微分方程 g dt d s = 2 2 n t k n t ( ) = ( )