6.3可降阶的二阶微分方程 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程： 高阶微分方程没有一般的求解方法，只有几种特 殊类型的可找到求解途径. 本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法： 6.3.1Jym=f)型 晟秋私 6.3.2y”=f化，y)型 极起 6.3.3y"=f0y,y)型
6. 3 .1 y (n) = f (x) 型 6. 3 .2 y = f (x, y) 型 6. 3 .3 y = f (y, y) 型 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程. 高阶微分方程没有一般的求解方法，只有几种特 殊类型的可找到求解途径. 本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法. 6.3 可降阶的二阶微分方程
6.3.1m=fx)型 1.特点右端仅含有自变量x. 2.解法积分n次即可得通解 y=∫f(x)dc+C dy》=[f(x)+C]+C 凝 dy=∫[jf(x)+C+C]a+C
2. 解法 1. 特点 右端仅含有自变量 x . 积分 n 次即可得通解 . 1 ( 1) y f ( x ) dx C n = + − ( 2) 1 2 ( ) n y f x dx C dx C − = + + 1 2 ( ) . n y f x dx C dx C dx C = + + + 6. 3 .1 y (n) = f (x) 型
之例1解微分方程 2y四=0，y=1y"4)=2. Inx ”小== 解 c_1+C, 代入y"(1)=2, 得出C1=3. -- 极秋秘 =3x-Im'x-Imx+Cz 2
例1 解微分方程 解 代入 y(1) = 2, , (1) 0, (1) 1, (1) 2. ln 2 = y = y = y = x x y = = dx x x y y dx 2 ln , ln 1 C1 x x x = − − + = − − dx x x ln x 1 3 y = y dx ln ln , 2 1 3 2 2 = x − x − x + C 得出 C1 = 3
y-jy'd-3x-'x-lax+C 2 代入y'()=1, 得出C2=-2. y-J(3x-2lnx-Inx-2)db 3x-2x-x+C3 2 涵 代入y(①)=0，得出C,=2 所求特解 一 y=-2x-nx+月
y = y dx ln ln , 2 1 3 2 2 = x − x − x + C 代入 y(1) = 1, 代入 y (1) = 0, 得出 C3 = 所求特解 得出 C2 = −2. y = x − ln x − ln x − 2)dx 2 1 (3 2 ln , 2 2 2 3 3 2 2 x C x = x − x − + 2 1 . 2 1 ln 2 2 2 3 2 2 = − − x + x y x x
6.3.2y”=f化，y)型 1.特点 右端不显含未知函数y 2.解法 设y=p(x)则y”=p', 将y,y”代入原方程 y"=f(x,y'>p'=f(x,p), 二阶 降阶了 C一阶 -秋私 藏 设y'=p=p(,C1, 再积分就可求出gy=∫p(x,C)+C
设 y p x = ( ) 则 y = p , 1. 特点 右端不显含未知函数 y . 2. 解法 y = f (x, y ) p = f ( x, p )， 二阶 降阶了 一阶 设 y = p = (x, C1 ), 再积分就可求出 y, 将 y , y 代入原方程 , ( ) = C1 dx + C2 y x, 6. 3 .2 y = f (x, y) 型