例2.求下列方程的通解(l) xy'+y=y(lnx+lny)(2) 2x lnxdy+ y(y2 Inx -1)dx = 03x2 + y2 - 6x+3(3) y':2xy-2y提示：（1）原方程化为（xy)'=yln(xy)duuinu（分离变量方程）令u=xy,得dxx(2)将方程改写为31dyVZ=V(贝努里方程)dx2x2xlnxOe00x机动自录上页下页返回结束
例2. 求下列方程的通解: (1) xy + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3x? + y2 - 6x+3(3) y"2xy-2yd y_ 3(x-1)2 + y2化方程为dx2y(x-1)dydy dtdy令t=x-1,则dxdtdt dx3t? + y2dy(齐次方程）dt2ty令y=ut可分离变量方程求解Oe00x机动目录上页下页返回结束
令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设F(x)=f (x) g(x), 其中函数,(x), g(x) 在( - 00,+o0)内满足以下条件:f(x)= g(x)， g(x)= f(x)，且 f(0)=0.f(x)+ g(x)= 2e*(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2) 求出F(x) 的表达式(03考研)解: (1) :: F'(x) = f'(x)g(x)+ f(x)g(x)= g2(x)+ f2(x)=[g(x) + f(x))2 -2 f(x)g(x)=(2e*)2 -2F(x)所以F(x）满足的一阶线性非齐次微分方程oeoo0x
例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f (x) = g(x), g (x) = f (x), 且 f (0) = 0, (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1) F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 = g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 = g x + f x − f x g x (2 ) 2 ( ) 2 e F x x = − 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e
F'(x)+ 2F(x) = 4e2x(2)由一阶线性微分方程解的公式得F(x)=e-][2d*[[4e2x.e]2dx2dxdx+Cl=e-2x[[4e4× dx+C]2x+Ce-2xe将 F(O)=f(O)g(O)=0代入上式，得C=-1-2xF(x)=e2x -e于是eo0oll0lxE区口米
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 F x e e e x C x x x = + − ( ) 4 d 2d 2 2d e e x C x x = + − 4 d 2 4 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式，得 C = −1 于是 x x F x e e 2 2 ( ) − = − x F x F x e 2 ( ) + 2 ( ) = 4 x x e Ce 2 −2 = +
二、解微分方程应用问题例4.已知某曲线经过点（1，1）它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程提示：设曲线上的动点为M(x,y)，此点处切线方程为Y-y=y'(X-x)令X=0,得截距Y=-y'x,由题意知微分方程为y-y'x=xytM(x,y)即--y=-1xtanα = xyx定解条件为 x=1=1.x x0求解过程略O0000X机动目录上页下页返回结束
求解过程略 M (x, y) y o x 例4 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 y − y x = x 即 1 1 − y = − x y 定解条件为 1. y x=1 = x tan = xy x 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、解微分方程应用问题