P(x)=a+a(x-x)+a(x-x)+.+a(x-x)假设: P(k)(x)= f(k)(x) k=1,2,,n 则a = f(x.),1.a, = f'(x,),2!a, = f"(x.)n!a, = f("(x.)得k(k = 0,1,2,..,n)酒k!代入P,(x)中得f"x.P(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+2!xo)(x- x)"+n!高等数学（上册）
( ), 0 x0 a f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k 1 ( ), 1 x0 a f 2! ( ) 2 x0 a f , ! ( )0 ( ) n a f x n n P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 假设: ( ) 则 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 0 1 0 2 0
三、泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x）在含有x.的某个开区间（ab内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在（a.b)内时，f(x)可以表示为(x一x)的一个n次多项式与一个余项Rx)之和：f"(xo(x-x)f(x)= f(x)+ f(x(x -x)+2!(x-x)" + R,(x)n!(x-x)n+l，（在x与x,之间)其中R,(x)=(n+1)!拉格朗日余项带拉格朗日型余项的n阶泰勒Taylor公式
三、泰勒( Taylor )中值定理: 如果函数 f (x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b) 内具有直到(n 1)阶的导数,则当x在(a,b)内 时, f (x)可以表示为( ) 0 x x 的一个n次多项 式与一个余项R (x) n 之和: 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! ( ) ( ) ) ! ( n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( . ( 1)! n n n f R x x x x x n 其中 在 与 之间) 拉格朗日余项 带拉格朗日型余项的n阶泰勒Taylor公式