《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，B）第五章 二次型_5.2 正定二次型

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新时代大学数学系列教材 线性代数

第五章二次型C=a2第二节Car正定二次型06数（和十）六业

第二节 正定二次型 第五章 二次型

线性代数第二节正定二次型f(x,x2,...xn)=x+x?+...+x2(ai,a2... an)O,a,R,f(ai, az,..... an)=a?+a +... + an2>0.定义如果任一非零实向量X=(X,X2，.…,x,)T都使f(X)=XTAX>0,则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵A称为正定矩阵正定矩阵A首先是一个实对称矩阵fX)=XTAX为正定二次型口A为正定矩阵高教育出社11新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 f (x1 , x2 , ., xn ) = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ￾ (a1 , a2 , ., an ) ￾ 0, ai ￾ R, f (a1 , a2 , ., an ) = a1 2 + a2 2 + . + an 2 > 0. 定义 如果任一非零实向量 X = (x1 , x2 , ., xn ) T 都使 f (X) = X TAX > 0, 则称 f (X) 为正定二次型， f (X)的 矩阵A 称为正定矩阵. 正定矩阵 A 首先是一个实对称矩阵. f (X) = X TAX 为正定二次型 ￾ A 为正定矩阵

线性代数第二节正定二次型例1设A，B都是n阶正定矩阵.证明：kA+IB也是正定矩阵（k>0,1>0)证口A,B都是n阶正定矩阵XOR".X0有XTAX>0.XTBX>0XT(KA+IB)X=kXTAX+IXTBX>0kA+IB为正定矩阵喜高等教育出服社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例1 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB也是 正定矩阵 (k > 0, l > 0). 证 ￾ A, B 都是n 阶正定矩阵 ￾ ￾ X ￾ Rn , X ￾ 0 , 有 X TAX > 0 , X TBX > 0 ￾ X T (kA + l B)X = k X TAX + l X TBX > 0 ￾ kA + l B 为正定矩阵

线性代数第二节正定二次型例2设A=(a)nn是正定矩阵.证明：ai>0(i-1,,n).证设某i≤0，取 X=(0,... 0,1,0,...,.0)T则XTAX=a≤0,矛盾.所以 au>0,(i=1,.., n).首高教育出服社1新时代大学数学系利教材

第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例2 设A = (aij)n￾ n是正定矩阵. 证明: aii > 0(i=1,.,n). 证 设某 aii ≤ 0， 取 X = (0, ., 0, 1, 0, ., 0)T 则 X TAX = aii ≤ 0， 矛盾. 所以 aii > 0， (i = 1, ., n)