2003年考研数学(四)真题评注

2003年考研数学(四)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)极限l[1+m(1+x) 【分析】本题属1型未定式,化为指数函数求极限即可 【详解】mn[+h(1+x)2=lme 2In(l+In(l+x)l 【评注】对于1°型未定式lmf(x)(的极限,也可直接用公式 imf(x)()(1)=e(x进行计算,因此本题也可这样求解 2 lim[1+hn(1+x)I= 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P23【例1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四P29第一大题第(1)小题 2) (对+x)+a=2(1-2e 【分析】对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性,这里有[xex=0 【详解】∫(对+x+-+p++xe+k xe- dx exe e dx 【评注】本题属基本题型,主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P37第一题第(3)小题(完全是原题,答案 也一样),完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P丌1第一大题第(2)小题. (3) f(x)=8()-a,若0≤x≤1 0.其他而D表示全平面,则

1 2003 年考研数学（四）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）极限 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = 2 e . 【分析】 本题属  1 型未定式，化为指数函数求极限即可. 【详解】 x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = ln[1 ln(1 )] 2 0 lim x x x e + + → = . 2 2 ln(1 ) lim 2 ln[1 ln(1 )] lim 0 0 e e e x x x x x x = = + + + → → 【 评 注 】 对 于  1 型未定式 ( ) lim ( ) g x f x 的极限，也可直接用公式 ( ) lim ( ) g x f x (1 )  = lim( f ( x) 1)g ( x) e − 进行计算，因此本题也可这样求解： x x x 2 0 lim[1+ ln(1+ )] → = . 2 ln(1 ) 2 lim 0 e e x x x =  + → 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例 1.30】和《文登数学全真模拟试 卷》数学四 P.29 第一大题第（1）小题. （2） x x e dx x − − + 1 1 ( ) = 2(1 2 ) −1 − e . 【分析】 对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有 0. 1 1 = − − xe dx x 【详解】 x x e dx x − − + 1 1 ( ) = xe dx xe dx x x  − − − − + 1 1 1 1 = xe dx − x − 1 1 =   − − = − 1 0 1 0 2 2 x x xe dx xde = 2[ ] 1 0 1 0 xe e dx x x  − − − − = 2(1 2 ) −1 − e . 【评注】 本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法. 原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.37 第一题第（3）小题（完全是原题，答案 也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.71 第一大题第（2）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( )      = = 而 D 表示全平面，则

I=lf(x)g(y-x)dxdy=a 【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时,被积函数才不 为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 【详解】1=/(x)g(-x)dd=Ja2dd da”d=d(x+1-k=a2 【评注】若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可 完全类似例题见《数学复习指南》P191【例816-17】 (4)设AB均为三阶矩阵,E是三阶单位矩阵已知AB=2A+BB=040,则 (A-E) 010 100 【分析】应先化简,从AB=2A+B中确定(A-E) 【详解】由AB=2A+B,知 AB-B=2A-2E+2E 即有 (A-E)B-2(A-E)=2E (A-E)B-2E)=2E, (A-E)-(B-2E)=E 可见 (A-E)=(B-2E)=010 【评注】本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题,应先分解出因式A-E,写成逆矩阵 的定义形式,从而确定(A-E)的逆矩阵 完全类似例题见《数学最后冲刺》P92【例7】 (5)设n维向量a=(a,0,…,0,a),a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-aa B=e+-aa 其中A的逆矩阵为B,则a= 【分析】这里aa7为n阶矩阵,而a'a=2a2为数,直接通过AB=E进行计算并 注意利用乘法的结合律即可

2  = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0  x  1,0  y − x  1 时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】  = − D I f (x)g(y x)dxdy = a dxdy x y x  0 1,0 − 1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − =    + 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例 8.16-17】 . （4）设 A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知 AB=2A+B,B=           2 0 2 0 4 0 2 0 2 ,则 1 ( ) − A− E =           1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 【分析】 应先化简，从 AB=2A+B 中确定 1 ( ) − A− E . 【详解】 由 AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 (A − E)B − 2(A − E) = 2E ， (A − E)(B − 2E) = 2E ， A − E  (B − 2E) = E 2 1 ( ) ， 可见 1 ( ) − A− E = ( 2 ) 2 1 B − E =           1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 【评注】 本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式 A-E，写成逆矩阵 的定义形式，从而确定(A-E) 的逆矩阵. 完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例 7】. （5）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a  0  T  ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E − ， T a B E  1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 T  为 n 阶矩阵，而 2 2a T   = 为数，直接通过 AB = E 进行计算并 注意利用乘法的结合律即可

【详解】由题设,有 AB=(E-aa(E+-aa) FE-aa +-aa'--a(aa)a FE-aa +-aa-2aaa 于是有-1-2a+1=0,即202+a-1=0,解得a=1,a=-1.由于A0故正1 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P305第2大题第(5)小题 (6)设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则 E(X+y)2= 【分析】利用期望与相关系数的公式进行计算即可 【详解】因为 E(X +Y=EX+2E(XY)+Er =4+2[Cov(X,Y)+EX·Ey 4+2px√Dx·√Dy=4+2×0.5×2=6 【评注】本题的核心是逆向思维,利用公式E(XY)=Con(X,Y)+EX·EY,而这种 分析方法是文登辅导班上重点介绍过的 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线y=xe (A)仅有水平渐近线 (B)仅有铅直渐近线 (C)既有铅直又有水平渐近线 (D)既有铅直又有斜渐近线 【分析】先考虑是否有水平渐近线,若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线 而是否存在铅直渐近线,应看函数是否存在无定义点 【详解】当x→>±∞时,极限limy均不存在,故不存在水平渐近线; 又因为lm2=mex=1,im(xex-x)=0,所以有斜渐近线y=x

3 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E − E +  = T T T T a a E − +  −   1 1 = T T T T a a E   ( ) 1 1 − + − = T T T a a E   2  1 − + − = E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ，解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 A<0 ,故 a=-1. 【评注】 完全类似例题见《数学复习指南》P.305 第 2 大题第（5）小题 . （ 6） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5, EX=EY=0, 2 2 2 EX = EY = , 则 2 E(X +Y) = 6 . 【分析】 利用期望与相关系数的公式进行计算即可. 【详解】 因为 2 E(X +Y) = 2 2 EX + 2E(XY) + EY =4+ 2[Cov(X,Y) + EX  EY] =4+2  DX  DY = 4 + 2 0.5 2 = 6.  XY 【评注】 本题的核心是逆向思维，利用公式 E(XY) = Cov(X,Y) + EX  EY ，而这种 分析方法是文登辅导班上重点介绍过的. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）曲线 2 1 x y = xe (A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线. (C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ D ] 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线， 而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点. 【详解】 当 x →  时，极限 y x→ lim 均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为 lim lim 1 2 1 = = → → x x x e x y ， lim ( ) 0 2 1 − = → xe x x x ，所以有斜渐近线 y=x

另外,在x=0处y=xex无定义,且 lim xer2=,可见x=0为铅直渐近线 故曲线y=xex既有铅直又有斜渐近线,应选(D) 【评注】本题为常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P153【例6.30-31】 (2)设函数f(x)=12-19(x),其中q(x)在x=1处连续,则()=0是x)在x=1 处可导的 (A)充分必要条件 (B)必要但非充分条件 (C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件 【分析】被积函数含有绝对值,应当作分段函数看待,利用x)在x=1处左右导数定 义讨论即可 【详解】因为 f(x)-f(1) q(x)=3q(1) mf(x)-/()=-m xrx-l(x)=-3(1), 可见,f(x)在x=1处可导的充分必要条件是3q(1)=-3(1)→(1)=0.故应选(A) 【评注】函数表达式中含有绝对值、取极值符号( max. min)等,均应当作分段函数处理 一般地,函数g(x)=x-x(x)在点x=x处可导的充要条件是q(x)=0 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P28【例26】和《考研数学大串讲》P19 的公式 3)设可微函数fxy)在点(x,y)取得极小值,则下列结论正确的是 (A)f(x0,y)在y=y处的导数等于零(B)f(x0,y)在y=y处的导数大于零 (C)f(x0,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y处的导数不存在 A 【分析】可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论 【详解】可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,根据取极值的必要条件知 ∫(x0,y0)=0,即∫(x0,y)在y=y处的导数等于零,故应选(A) 【评注1】本题考查了偏导数的定义,f(x0,y)在y=yo处的导数即fy(x0,y0);而 f(x,y)在x=x0处的导数即∫(x0,y0) 【评注2】本题也可用排除法分析,取f(x,y)=x2+y2,在(0,0)处可微且取得极小

4 另外，在 x=0 处 2 1 x y = xe 无定义，且 =  → 2 1 0 lim x x xe ，可见 x=0 为铅直渐近线. 故曲线 2 1 x y = xe 既有铅直又有斜渐近线，应选(D). 【评注】 本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153 【例 6.30-31】. （2）设函数 ( ) 1 ( ) 3 f x = x −  x ，其中 (x) 在 x=1 处连续，则 (1) = 0 是 f(x)在 x=1 处可导的 (A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ A ] 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用 f(x)在 x=1 处左右导数定 义讨论即可. 【详解】 因为 ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1  =  − − = − − → + → + x x x x f x f x x ， ( ) 3 (1) 1 1 lim 1 ( ) (1) lim 3 1 1  = −  − − = − − − → − → − x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是 3(1) = −3(1)  (1) = 0. 故应选(A). 【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号(max,min)等，均应当作分段函数处理. 一般地，函数 ( ) ( ) 0 g x = x − x  x 在点 0 x = x 处可导的充要条件是 ( ) 0.  x0 = 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28 【例 2.6】和《考研数学大串讲》P.19 的公式. （3）设可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y (x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). 【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数即 ( , ) 0 0 f x y y  ；而 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处的导数即 ( , ). 0 0 f x y x  【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 2 2 f (x, y) = x + y ，在(0,0)处可微且取得极小

值,并且有f(O,y)=y2,可排除(B)C(D故正确选项为(A) (4)设矩阵 001 B=010 100 已知矩阵A相似于B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (B)3 (C)4 (D)5 [C] 【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算,秩(A-2E)与秩(AE)之和等于秩(B-2E)与秩(BE) 之和 【详解】因为矩阵A相似于B,于是有矩阵A2E与矩阵B-2E相似,矩阵A-E与矩 阵B-E相似,且相似矩阵有相同的秩,而 -201 101 秩(B2E户=秩0-10=3,秩(BE=秩000=1 10-2 可见有秩(A-2E)+秩(AE=秩(B-2E+秩(B-E)=4,故应选C) 【评注】若A~B,则f(A)~f(B),且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同 的特征值等性质.见《数学复习指南》P360相似矩阵及其性质 (5)对于任意二事件A和B (A)若AB≠φ,则AB一定独立.(B)若AB≠φ,则AB有可能独立 (C)若AB=φ,则AB一定独立.(①D)若AB=p,则AB一定不独立 B 【分析】本题考查独立与互斥事件之间的关系,事实上,独立与互斥事件之间没有必 然的互推关系 【详解】AB≠φ推不出P(AB=P(A)P(B)因此推不出AB一定独立,排除(A),若 AB=φ,则P(AB=0,但P(AP(B)是否为零不确定,因此(O)(D)也不成立,故正确选项 为(B) 【评注】当PA)≠0,P(B)≠0时,若AB相互独立,则一定有P(AB)=P(A)P(B)≠0, 从而有AB≠φ.可见,当AB相互独立时,往往A,B并不是互斥的 完全类似例题见《数学复习指南》P415第二大题第(7)小题 (6)设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则 (A)X与Y一定独立 (B)(XY)服从二维正态分布 (C)X与Y未必独立 (D)X+Y服从一维正态分布 【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系只有 XY)服从二维正态分布时,不相关与独立才是等价的

5 值，并且有 2 f (0, y) = y ，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A). （4）设矩阵           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B . 已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于 (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ C ] 【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E) 之和. 【详解】 因为矩阵 A 相似于 B，于是有矩阵 A-2E 与矩阵 B-2E 相似，矩阵 A-E 与矩 阵 B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而 秩(B-2E)=秩 3 1 0 2 0 1 0 2 0 1 =           − − − ，秩(B-E)=秩 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 =           − − ， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). 【评注】 若 A ~ B ，则 f (A) ~ f (B) ，且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同 的特征值等性质. 见《数学复习指南》P.360 相似矩阵及其性质. （5）对于任意二事件 A 和 B (A) 若 AB   ，则 A,B 一定独立. (B) 若 AB   ，则 A,B 有可能独立. (C) 若 AB =  ，则 A,B 一定独立. (D) 若 AB =  ，则 A,B 一定不独立. [ B ] 【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必 然的互推关系. 【详解】 AB   推不出 P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出 A,B 一定独立，排除(A); 若 AB =  ，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项 为(B). 【评注】当 P(A)  0 ,P(B)  0 时，若 A,B 相互独立，则一定有 P(AB) = P(A)P(B)  0 ， 从而有 AB   . 可见，当 A,B 相互独立时，往往 A,B 并不是互斥的. 完全类似例题见《数学复习指南》P.415 第二大题第（7）小题. （6）设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与 Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与 Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ C ] 【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有 (X,Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的