2003年考研数学(三)真题评注

2003年考研数学(三)真题评注 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) X Cos 若x≠0, (1)设∫(x)= 其导函数在ⅹ=0处连续,则λ的取值范围是A>2 0, 0, 【分析】当x≠0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导 【详解】当λ>1时,有 f(x) 显然当>2时,有lnf(x)=0=f'(0),即其导函数在x=0处连续 【评注】原题见《考研数学大串讲》P21【例5】(此考题是例5的特殊情形 (2)已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2=4a 【分析】曲线在切点的斜率为0,即y=0,由此可确定切点的坐标应满足的条件, 再根据在切点处纵坐标为零,即可找到b2与a的关系 【详解】由题设,在切点处有 y=3x2-3a2=0,有 又在此点y坐标为0,于是有 0=x-3a2x+b=0 【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P36第一大题第(3)小题 (3)设a0,f(x)=g(x)= a若05x51而D表示全平面,则 o.其他, 1=f(x)g(y-x)dxdy=a 【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0≤x≤10≤y-x≤1时,被积函数才不 为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 【详解】=( f(x)g(-xdxdy a"dxdy 0≤xs1,0≤y-x≤l ∫"=a[(x+1)-x

1 2003 年考研数学（三）真题评注 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) =      = x x x x f x 若  若 其导函数在 x=0 处连续，则  的取值范围是   2 . 【分析】 当 x  0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导. 【详解】 当  1 时，有 0, 0, 0, , 1 sin 1 cos ( ) 1 2 =      +  = − − x x x x x x f x 若    若 显然当   2 时，有 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x  = =  → ，即其导函数在 x=0 处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例 5】（此考题是例 5 的特殊情形）. （2）已知曲线 y = x − a x + b 3 2 3 与 x 轴相切，则 2 b 可以通过 a 表示为 = 2 b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y  = 0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件， 再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 2 b 与 a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 3 3 0 2 2 y  = x − a = ，有 . 2 2 x0 = a 又在此点 y 坐标为 0，于是有 0 3 0 0 3 2 = x0 − a x + b = , 故 (3 ) 4 4 . 2 2 2 4 6 0 2 2 0 2 b = x a − x = a  a = a 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四 P.36 第一大题第（3）小题. （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( )      = = 而 D 表示全平面，则  = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 0  x  1,0  y − x  1 时，被积函数才不 为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 【详解】  = − D I f (x)g(y x)dxdy = a dxdy x y x  0 1,0 − 1 2 = [( 1) ] . 2 1 0 2 1 0 1 2 a dx dy a x x dx a x x = + − =    +

【评注】若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可 完全类似例题见《数学复习指南》P191【例8.16-17】 (4)设n维向量a=(a,0.…,0,a)1,a<0:E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-aa, B=E+-ad, 其中A的逆矩阵为B,则a=-1 【分析】这里aa为n阶矩阵,而aa=2a2为数,直接通过AB=E进行计算并 注意利用乘法的结合律即可 【详解】由题设,有 AB=(E-aaE+-aa) =E-aX't-aa =E-aa+ ala'a)a =E-aCt=aa-2aad =E+(-1-2a+-)a=E 于是有 2a+-=0,即2a2+a-1=0,解得a=,a=-1.由于A<0,故a=1 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P305第2大题第(5)小题 (5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 0.9 【分析】利用相关系数的计算公式即可 【详解】因为 cov(Y,Z)=cov(Y,X-0.4)=E[(Y(X-0.4)-E(Y)E(X-0.4) =E(XY)-0.4E(Y)-E(Y)E(X)+0.4E(Y) =E(XY)-E(XE(Y=coV(X, Y), 且DZ=DY 于是有cov(Y,Z= 502mxD==09 【评注】注意以下运算公式:DX+a)=DX,covX,+a)=covX,Y) 完全类似例题见《数学复习指南》P475【例332】的【注】 (6)设总体X服从参数为2的指数分布,X12X2…,Xn为来自总体X的简单随机样

2 【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积 函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例 8.16-17】 . （4）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a  0  T  ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E − ， T a B E  1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . 【分析】 这里 T  为 n 阶矩阵，而 2 2a T   = 为数，直接通过 AB = E 进行计算并 注意利用乘法的结合律即可. 【详解】 由题设，有 ) 1 ( )( T T a AB = E − E +  = T T T T a a E − +  −   1 1 = T T T T a a E   ( ) 1 1 − + − = T T T a a E   2  1 − + − = E a E a T + − − + ) = 1 ( 1 2 , 于是有 0 1 −1− 2 + = a a ，即 2 1 0 2 a + a − = ，解得 , 1. 2 1 a = a = − 由于 A<0 ,故 a=-1. 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305 第 2 大题第（5）小题 . （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z = X −0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为 cov(Y,Z) = cov(Y, X − 0.4) = E[(Y(X − 0.4)] − E(Y)E(X − 0.4) = E(XY) − 0.4E(Y) − E(Y)E(X ) + 0.4E(Y) =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 DZ = DX. 于是有 cov(Y,Z)= DY DZ cov(Y,Z) = 0.9. cov( , ) = XY = DX DY X Y  【评注】 注意以下运算公式： D(X + a) = DX ，cov(X,Y + a) = cov(X,Y). 完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例 3.32】的【注】 . （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X X Xn , , , 1 2  为来自总体 X 的简单随机样

本,则当n→∞时,Y=∑x2依概率收敛于1 【分析】本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X1,X2,…,Xn,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值: P I X EX,(n→∞) 【详解】这里X2,X2…X2满足大数定律的条件,且 X2=DX1+(EX1)2=+()2 因此根据大数定律有 y=∑x2依概率收敛于∑Ex2=1 【评注】大数定律见《数学复习指南》P484 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1)设f)为不恒等于零的奇函数,且f(O)存在,则函数g(x)=/(x) (A)在x=0处左极限不存在 (B)有跳跃间断点x=0 (C)在x=0处右极限不存在 D)有可去间断点ⅹ=0 【分析】由题设,可推出fO)=0,再利用在点ⅹ=0处的导数定义进行讨论即可 【详解】显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,fO)=0. 于是有mg(x)=m(x)=m(x)=O=f(0)存在,故x=0为可去间断点 【评注1】本题也可用反例排除,例如f(x)x则此时g(x=x1x≠0 可排除 0,x=0 (A),(B)、(C)三项,故应选(D) 【评注2】若(x)在x=x处连续,则lmnf(x)=Af(x)=0,f(x)=A 本题事实上相当于考查此结论,详情可参见《考研数学大串讲》P18的重要结论与公式 (2)设可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,则下列结论正确的是 (A)f(x0,y)在y=y处的导数等于零.(B)f(x0,y)在y=y处的导数大于零 (C)f(x0,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y处的导数不存在

3 本，则当 n → 时， = = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 2 1 . 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X X Xn , , , 1 2  ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值： ( ). 1 1 1 1  →  →  = = EX n n X n n i i n p i i 【 详 解 】 这 里 2 2 2 2 1 , , , X X  Xn 满足大数定律的条件，且 2 2 ( ) EXi = DX i + EXi = 2 1 ) 2 1 ( 4 1 2 + = ，因此根据大数定律有 = = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 . 2 1 1 1 2  = = n i EXi n 【评注】 大数定律见《数学复习指南》P.484 . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 x f x g x ( ) ( ) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出 f(0)=0 , 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 (0) 0 ( ) (0) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 f x f x f x f x g x x x x =  − − = = → → → 存在，故 x=0 为可去间断点. 【评注 1】 本题也可用反例排除，例如 f(x)=x, 则此时 g(x)= 0, 0, 0, 1, =     = x x x x 可排除 (A),(B),(C) 三项，故应选(D). 【评注 2】 若 f(x)在 0 x = x 处连续，则 ( ) 0, ( ) . ( ) lim 0 0 0 0 A f x f x A x x f x x x =  =  = → − . 本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18 的重要结论与公式. （2）设可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. [ A ]

【分析】可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论 详解】可微函数f(xy)在点(x0,y)取得极小值,根据取极值的必要条件知 ∫"(x0,yo)=0,即f(x0,y)在y=y处的导数等于零,故应选(A) 【评注1】本题考查了偏导数的定义,f(x0,y)在y=y处的导数即f”(x0,y0):而 f(x,y)在x=x处的导数即∫(x0,y0) 【评注2】本题也可用排除法分析,取f(x,y)=x2+y2,在(000可微且取得极小 值,并且有f(0,y)=y2,可排除(B)(C),(D),故正确选项为(A) (3)设pn qn 2=1,2,…,则下列命题正确的是 (A)若∑an条件收敛,则∑pn与∑q都收敛 (B)若∑an绝对收敛,则∑Pn与∑qn都收敛 (O)若∑an条件收敛,则∑Pn与∑9n敛散性都不定 (D)若∑an绝对收敛,则∑pn与∑qn敛散性都不定 【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案 【详解】若∑an绝对收敛,即∑a收敛,当然也有级数∑an收敛,再根据 a+ p, 及收敛级数的运算性质知,∑Pn与∑qn都收敛,故应选 【评注】完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P23第二大题第(3)小 (4)设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有 bb (A)a=b或a+2b=0 (B)a=b或at+2b≠0 (C)a≠b且a+2b=0 (D)a≠b且at2b≠0

4 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 【详解】 可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，根据取极值的必要条件知 f y (x0 , y0 ) = 0 ，即 ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零, 故应选(A). 【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数即 ( , ) 0 0 f x y y  ；而 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处的导数即 ( , ). 0 0 f x y x  【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 2 2 f (x, y) = x + y ，在(0,0)处可微且取得极小 值，并且有 2 f (0, y) = y ，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A). （3）设 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = ， n = 1,2,  ，则下列命题正确的是 (A) 若   n=1 n a 条件收敛，则   n=1 n p 与   n=1 n q 都收敛. (B) 若   n=1 n a 绝对收敛，则   n=1 n p 与   n=1 n q 都收敛. (C) 若   n=1 n a 条件收敛，则   n=1 n p 与   n=1 n q 敛散性都不定. (D) 若   n=1 n a 绝对收敛，则   n=1 n p 与   n=1 n q 敛散性都不定. [ B ] 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若   n=1 n a 绝对收敛，即   n=1 an 收敛，当然也有级数   n=1 n a 收敛，再根据 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = 及收敛级数的运算性质知，   n=1 n p 与   n=1 n q 都收敛，故应选 (B). 【评注】 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.23 第二大题第（3）小 题. （4）设三阶矩阵           = b b a b a b a b b A ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b  0. (C) a  b 且 a+2b=0. (D) a  b 且 a+2b  0. [ C ]

【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件 【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有 b)a-b)=0,即有a+2b=0或a= 但当a=b时,显然秩(A)≠2,故必有a≠b且a+2b=0.应选(C) 【评注】n(n≥2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系 r(a)=n, r(A*)={1,r(4)=n-1 0,r(A)<n-1 完全类似例题见《数学复习指南》P329【例3.31】 (5)设a1,a2…,a,均为n维向量,下列结论不正确的是 (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,,都有ka1+k2a2+…+ka,≠0, 则a1,a2,…,a,线性无关 (B)若a12a2,…,a,线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…k,都有 ka1+k2a2+…+k,a,=0 (C)a12a2,…,a,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D)∝1,a2,…,a,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等 价表现形式.应注意是寻找不正确的命题 【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数k1,k2…k,,都有 ka1+k2a2+…+k,a,≠0,则a1,a2,…a,必线性无关,因为若ax1,a2,…,a,线性相关 则存在一组不全为零的数k1k2,…,k,使得ka1+k2a2+…+k,a,=0,矛盾.可见(A) 成立 (B)若a1,a2…a,线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数 k1,k2,…,k,都有ka1+k2a2+…+ka,=0.(B)不成立 (C)a12a2,…,a,线性无关,则此向量组的秩为s:反过来,若向量组a1a2,…,a,的秩 为s,则a12a2,…,Q,线性无关,因此(C)成立

5 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件. 【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 ( 2 )( ) 0 2 = a + b a − b = b b a b a b a b b ，即有 a + 2b = 0 或 a=b. 但当 a=b 时，显然秩(A)  2 , 故必有 a  b 且 a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n（n  2) 阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系： ( ) 1. ( ) 1, ( ) , 0, 1, , ( *)  − = − =      = r A n r A n n r A n r A 完全类似例题见《数学复习指南》P.329【例 3.31】. （5）设    s , , , 1 2  均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，都有 k11 + k2 2 ++ ks s  0， 则    s , , , 1 2  线性无关. (B) 若    s , , , 1 2  线性相关，则对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，都有 0. k11 + k2 2 ++ ks s = (C)    s , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D)    s , , , 1 2  线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等 价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题. 【 详 解 】 (A): 若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 s k , k , , k 1 2  , 都 有 k11 + k2 2 ++ ks s  0 ，则    s , , , 1 2  必线性无关，因为若    s , , , 1 2  线性相关， 则存在一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ,使得 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 ，矛盾. 可见（A） 成立. (B): 若    s , , , 1 2  线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2  ，都有 0. k11 + k2 2 ++ ks s = (B)不成立. (C)    s , , , 1 2  线性无关,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组    s , , , 1 2  的秩 为 s，则    s , , , 1 2  线性无关，因此(C)成立