(0f(z)= zRe(z) lzl 方法二 设+iy,则f(e)=x+iy x2 y x2+y2 x2 y x2 lim lim a00V2+y0.0 根据定理2.1，有1imf(2)=0
方法二 设z=x+iy,则 2 2 2 2 2 2 2 ( i ) ( ) i , x y x x xy f z x y x y x y + = = + + + + 2 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) . x xy u x y v x y x y x y = = + + 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 lim lim 0. x y x y x xy x y x y → → = = + + 根据定理2.1，有 0 lim ( ) 0 z f z → = Re( ) (1) ( ) ; z z f z z =
(2fe)= Re() lel (2)方法一 设2=x+iy,则z2=x2-y2+2xyi,z2=x2+y2. Re() fa 2x2+y2 川 (x,y)=0. 让沿直线=趋向于0，有 )=lim x2-k2x2 1-k2 (x,y)-→(0,0) 0x2+k2x2-1+k2 所以，lim。u(x,y)不存在 (x,y)→(0,0) 根据定理2.1，limf()不存在 z>0
2 2 Re( ) (2) ( ) . z f z z = (2)方法一. 设z=x+iy,则 2 2 2 2 2 2 z x y xy x y = − + = + 2 i, . z 2 2 2 2 2 2 Re( ) ( ) . z x y f z z x y − = = + 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) 0. x y u x y v x y x y − = = + 让z沿直线y=kx趋向于0，有 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 1 lim ( , ) lim . x y x 1 x k x k u x y → → x k x k − − = = + + ( , ) (0,0) lim ( , ) x y u x y 所以 → 不存在 根据定理2.1， 0 lim ( ) z f z → 不存在
Re() 方法二 (2)fe)= lal? z=rei =r(cos0+isine) 则 fa）=产cos20-c0s20 r2 让z沿不同射线argz=0趋向于0时，z趋向于不同的值 所以1mf(2)不存在
方法二. 2 2 cos 2 ( ) cos 2 r f z r 则 = = i z r r e (cos isin ) 设 = = + 让z沿不同射线 arg z = 趋向于0时，f(z)趋向于不同的值. 所以 0 lim ( ) z f z → 不存在. 2 2 Re( ) (2) ( ) . z f z z =
3.复变函数的连续性 定义2.3若1imf(z)=f(zo),则说函数几z)在点zo处连 续.如果函数心)在区域D内每一点都连续，那么称函 数z)在区域D内连续 定理2.3若几z)、8(z)在点z连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零)在点z处连续 (1)多项式w=a2”+a,z”-+…+an-2+an在整个复平 面上连续； (2)任何一个有理分式函数w= ao2+a12"-+…+an-2+an bo2m+n2m+bmiz+bm 在复平面上除去使分母为零的点外处处连续
3.复变函数的连续性 定义2.3 若 ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 续. 如果函数f(z)在区域D 内每一点都连续，那么称函 数f(z)在区域D内连续. 0 0 lim ( ) ( ) z z f z f z → = 定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续. (1)多项式 在整个复平 面上连续； (2)任何一个有理分式函数 在复平面上除去使分母为零的点外处处连续. 1 0 1 1 n n w a z a z a z a n n − = + + + + − 1 0 1 1 1 0 1 1 n n n n m m m m a z a z a z a w b z n z b z b − − − − + + + + = + + + +
定理2.4若函数h=g(z)在点z连续，函数0h)在h,g(2o) 连续，则复合函数0孔g()在z处连续 定理2.5设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),。=x。+iy,则z) 在点z连续的充分必要条件是u(x,y以、v(x,y)均在点 (x)处连续 例2.3讨论函数argz的连续性 解：当=O时，arg无定义，因而不连续 当为负实轴上的点时，即z=x<0,则 lim argz=lim(arctan-上-元)=-元， y→0，z→20 y-→0，x→x0 X argz在负实 lim arg=lim 1((arctan+π)=元， y-→0,2→20 y-→0，x→x0 轴上不连续 X
定理2.4 若函数h=g(z)在点z0连续，函数=f(h)在h0 =g(z0 ) 连续，则复合函数=f(g(z))在z0处连续. 定理2.5 设函数 ,则f(z) 在点z0连续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y) 均在点 (x0 ,y0 )处连续. 0 0 0 f z u x y v x y z x y ( ) ( , ) i ( , ), i = + = + 例2.3 讨论函数argz的连续性. 解：当z=0时, arg z无定义，因而不连续. 当z0为负实轴上的点时，即z0 =x0<0,则 0 0 0 0 0 , 0 , 0 , 0 , lim arg lim (arctan π) π, lim arg lim (arctan π) π, y z z y x x y z z y x x y z x y z x − − + + → → → → → → → → = − = − = + = arg z在负实 轴上不连续