几何意义 当变点z进入z的充分小的去心邻域时，它的像点 孔)就落入A的一个预先给定的邻域内 之平面 w平面 定义中z→z的方式是任意的，也就是说，在z 的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z时，孔z) 都要趋向于同一个常数A
几何意义 当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它的像点 f(z) 就落入A的一个预先给定的邻域内. 定义中z→z0的方式是任意的，也就是说，z在z0 的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z) 都要趋向于同一个常数A
定理2.1设z=u(x,y)+iv(x,y),20xo+iyo,A=a+ib,则 limf(z)=A台，lim(x,y)=a, -→20 (x,y)-→(0%） lim v(x,y)=b. (x,y)→(xo,y0) 证明：先证必要性.limf(z)=A 即对ε>0，必36>0，当 0<2-0=x+iy)-(x+i%=Vx-)2+0y-%)2<8 时，有 f(=)-A=(u+iv)-(a+ib)=/(u-a)+(v-b)2<s lu-al≤Vu-a)2+(w-b)2,v-bl≤Vu-a2+(v-b2
定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0 ,A=a+ib，则 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( ) lim ( , ) , z z x y x y f z A u x y a → → = = 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) . x y x y v x y b → = 证明：先证必要性. 0 lim ( ) z z f z A → = 即对 0 ,必 0 ,当 2 2 0 0 0 0 0 0 ( i ) ( i ) ( ) ( ) − = + − + = − + − z z x y x y x x y y 时， 有 2 2 f z A u v a b ( ) ( i ) ( i ) − + − + = = − + − ( ) ( ) u a v b 2 2 2 2 u a v b − − − + − − + − ( ) ( ) , ( ) ( ) . u a v b u a v b
当0<Vx-x)2+(y-%)2<6时，有 lw-ad<&,v-bl<&成立 lim (x,y)→(xo,%)） x,月=a,吧x月=h 再证充分性 当0<-广+0-<时，有u-d<号p-小<气 因此f(z)-A=(w-a)+i(v-b)≤u-d+v-bl<ε. 所以，当0<2-20=Vx-x)2+(y-)2<6 有 f(z)-A<8 即 ()-4
当 0 ( ) ( ) − + − x x y y 0 0 2 2 时，有 u a v b − − , 成立. 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) , lim ( , ) . x y x y x y x y u x y a v x y b → → = = 再证充分性. 当 0 ( ) ( ) − + − x x y y 0 0 2 2 时，有 , . 2 2 u a v b − − 因此 f z A u a v b ( ) ( ) i( ) − − + − = + u a v b − − . 所以，当 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) − = − + − z z x x y y 有 f z A ( ) − 0 lim ( ) z z f z A → 即 =
定理2.2（极限运算法侧）若 lim f(z)=4,lim g(2)=B, z→z0 则 (1)lim(f(z)±g(z)=A±B, →20 (2)limf(z)·g(z)=AB; →20 (3)li f②- (B≠0) B →0g(z） 若两个函数z)和g(z)在点z处有极限，则其和、 差、积、商（要求分母不为零）在点z处的极限仍存在 并且极限值等于孔z)、g(z)在点z处的极限值的和、差、 积、商
定理2.2 (极限运算法则) 若 0 0 lim ( ) , lim ( ) , z z z z f z A g z B → → = = 0 0 0 (1) lim( ( ) ( )) ; (2) lim ( ) ( ) ; ( ) (3) lim ( 0). ( ) z z z z z z f z g z A B f z g z AB f z A B g z B → → → = = = 则 若两个函数f(z)和g(z)在点z0处有极限，则其和、 差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在， 并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、 积、商
例2.2判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存 在，试求出极限值： (0)f)= Re),2/e)= Re(z2) l lzl2 解：(1)方法一 因为fe)=lRe9sEl Z 所以Ve>0,取6=6，当0<z<时，总有 f(2)-0=f(z≤z<8 根据极限定义】 m()=0
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存 在，试求出极限值： Re( ) (1) ( ) ; z z f z z = 2 2 Re( ) (2) ( ) . z f z z = 解： (1)方法一 Re( ) ( ) z f z z z z 因为 = 所以 0 ，取 = ，当 0 z 时，总有 f z f z ( ) 0 ( ) − = z 根据极限定义 0 lim ( ) 0 z f z → =