√教学基本要求 l CH9重积分√授课内容 √§1预备知识空间的三个坐标系 分的概 √知识回顾 §3三重积分 √一、三重积分的概念 √例1 2 √例3 1999 √例5
CH9 重积分 §3 三重积分 1999 §1 预备知识 空间的三个坐标系 §2 三重积分的概念及其计算方法 知识回顾 一、三重积分的概念 例1 教学基本要求 例2-1 例4 例3 例2-2 例题分析 授课内容 例5
CH9重积分 2 §3三重积分授课提纲 教学基本要求 1.进一步理解元素法的思想,会用元素法建立数学模型 2.清楚地认识空间的三种坐标系,并会绘制三种坐标系的图形 3.熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分 4.熟练掌握使用 Mathematic软件计算三重积分 搅裸内容 §1预备知识空间的三个坐标系 §2三重积分的概念及其计算方法
CH9 重积分 §3 三重积分授课提纲 1. 进一步理解元素法的思想，会用元素法建立数学模型 2. 清楚地认识空间的三种坐标系，并会绘制三种坐标系的图形 3. 熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分 4. 熟练掌握使用Mathematic软件计算三重积分 §1 预备知识 空间的三个坐标系 §2 三重积分的概念及其计算方法
例题分析 3 例1,试在三中坐标系中化三重积分|=0(0为三次积分, Q 其中g是由z=R,及z=x2+y2所围成的立体 例2.求由下列曲面围成的立体的体积 (1)z=6-x2-y2,z=x2+y (2)x2+y2+z2=2=,==√x2+y (3)z=x2+y2,2=x2+y2 (4)==√5-x2-y2,42=x2+y2 例3,计算上y其中2是第一挂限中的球面x+y+2=4 与平面=1及y=3x,y=x所围成的区域 例4·计算其中2是由椭圆+1+==1围成的空间区域 a b
例2· 求由下列曲面围成的立体的体积 例1· 试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分， 其中 是由 ，及 所围成的立体。 I = f (x, y,z)dV z = R 2 2 z = x + y （1） ， 2 2 z = 6 − x − y 2 2 z = x + y （2） x y z 2z ， 2 2 2 + + = 2 2 z = x + y （3） z = x 2 + y 2 ， 2 2 z = x + y （4） ， 2 2 z = 5 − x − y 2 2 4z = x + y 例3· 计算 I= 其中 是第一挂限中的球面 与平面 及 ， 所围成的区域。 zdV 4 2 2 2 x + y + z = z =1 y x 3 1 = y = x 例4· 计算I= 其中 是由椭圆 围成的空间区域。 z dV 2 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x
CH9重积分 §1预备知识空间的三个坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系中的坐标平面: x=常数一组平行于YOZ的平面 y=常数一组平行于XOZ的平面 z常数一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素:dV= dxdydz
CH9 重积分 §1 预备知识 空间的三个坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系中的坐标平面： y=常数 一组平行于XOZ的平面 x=常数 一组平行于YOZ的平面 z=常数 一组平行于XOY的平面 直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz
5 二、柱坐标系 1.平面上的极坐标系+Z轴 2.柱坐标系中的坐标:,r,2 x=rcos 0 3柱坐标与直角坐标的关系y=rsn0x+y2=2gO=y Z=Z 4.柱坐标的取值范围:0≤6≤2x,0≤r<∞,-∞<z<+ 5.柱坐标系下的体积元: 理论推导: rsing cos 0 0 0 01 rdxdydz
二、柱坐标系 2. 柱坐标系中的坐标： 1. 平面上的极坐标系+Z轴 理论推导： 3. 柱坐标与直角坐标的关系： 5. 柱坐标系下的体积元： 4. 柱坐标的取值范围： = = = z z y r x r sin cos 2 2 2 x + y = r x y tg = 0 2 , 0 r , − z + d drdz z z z y y y x x x dV dxdydz r z r z r z = = r d drdz r 0 0 1 cos sin 0 − sin cos 0 = = rdxdydz ,r,z