河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分及其应用

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 尊 全微分的定义 可微的杀件 要 点 小结 Http://www.heut.edu.cn

第三节 全微分及其应用 全微分的定义 小结 可微的条件 要 点

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 全微分的定义 由一元函数徼分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x, y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分 tt p : // h

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x 和对y 的偏微分 二元函数 对x 和对y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定全增量的概念 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有 定义,并设P(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意 点,则称这两点的函数值之差 ∫(x+△x,y+△y)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,Δy的全增 量,记为△乙, 即△z=∫(x+△x,y+△y)-f(x,y) Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的某邻域内有 定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的任意 一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 定义3 全增量的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 义全微分的定义 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=∫(x+△x,y+△y)-∫(x,y)可以表示为 Δ=AAx+By+0(P),其中A,B不依赖于 △x,而仅与x,y有关,p=△x)2+(y)2, 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点x,y)的 全微分,记为, 即dz=A△x+B△y Http://www.heut.edu.cn

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz ， 即 dz =Ax + By . 定义4 全微分的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数若在某区域D内各点处处可微分 则称这函数在D内可微分 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上Δz=A△x+B△y+0(P),lim△z=0, 0 lim f(x+Ax, y+Ay=limlf(x, y)+Azl >0 △y→>0 f(,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 Http://www.heut.edu.cn

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续