高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第七节方向导教与 ●问题的提出 方向导数的定义 ◎梯度的概念 小结与思考题 Http://www.heut.edu.cn
第七节 方向导数与梯度 问题的提出 小结与思考题 方向导数的定义 梯度的概念
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 实例一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点 处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行 Http://www.heut.edu.cn
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行． 实例 一、问题的提出
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、方向导数的定义 讨论函数z=∫(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线L 设x轴正向到射线l的转角 为p,并设P(x+Ax,y+y)0 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) Http://www.heut.edu.cn
讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) o y x l • P x y • P 内有定义，自点 引射线 ． • 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 （如图） 二、方向导数的定义
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> I PPp=v(Ax)2+(Ay) 且△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 考虑, 当P'沿着l趋于P时, lm(x+△x,y+4y)-f(x,y)是否存在? →>0 Http://www.heut.edu.cn
| PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → , z 考虑 是否存在？
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 是函数的增量f(x+△x,y+2y)-f(x,y)与 PP两点间的距离p=(△x)2+(△Ay)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向的方向导数 记为9 f∫(x+Δx,y+△y)-∫(x,y) n 0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向1={,0}、 y轴正向e2={0,3的方向导数分别为fx,,; 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-fx,-J Http://www.heut.edu.cn
. ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 依定义，函数 f (x, y)在点P 沿着x 轴正向 {1,0} e1 = 、 y轴正向 {0,1} e2 = 的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 记为 定 义