高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第四节多元复合函教的求导法贝 链式法则 全微分的形式不变性 小结与思考题 Http://www.heut.edu.cn
第四节 多元复合函数的求导法则 链式法则 全微分的形式不变性 小结与思考题
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 一、链式法则 定理 如果函数u=()及v=y()都在点可导, 函数z=∫(u,y)在对应点(,v)具有连续偏导数, 则复合函数x=∫小(t),y()在对应点可导,且 其导数可用下列公式计算: 十 dt au dt av dt 证设t获得增量△, 则△=(t+△)-y(t),△v=y(t+△t)-y(t); H tt p:// h
证 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) − (t); 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可导， 函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可导，且 其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 设 t 获得增量 t， 定理 一、链式法则
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 由于函数z=f(u,v)在点(,v)有连续偏导数 oz △u+ 0xv+61A+E2△v, 当△→0,Δ卩→>0时,E1→0,E2→>0 △zOz△uaz△v △v 十E1 △tu△toy△t △x61△t 当∧t→>0时,△u→>0,△→0 △pd △tt △ttt Http://www.heut.edu.cn
由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v →
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △ z az du az dv =m 十 dtM-→0△ t au dt av 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. dz az du az dv az dw 如 十 dt au dt av dt an dt 以上公式中的导数称为全导数 Http://www.heut.edu.cn
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:乙 D),y(x,y 如果l=p(x,y)及v=v(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫|p(x,y),y(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax av ax ay au ay av ay Http://www.heut.edu.cn
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]. 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + =