高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第三节二重积分的应用 曲面的面积 ●平面薄板的重心 ●平面薄板的转动惯量 典型例题分析 Http://www.heut.edu.cn
第三节 二重积分的应用 曲面的面积 典型例题分析 平面薄板的重心 平面薄板的转动惯量
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面的面积 1.设曲面的方程为:z=f(x,y 在xoy面上的投影区域为D, S 如图,设小区域d∈D, 点(x,y)∈lo, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) J 的切平面 o 以do边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈ds Http://www.heut.edu.cn
１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o 一、曲面的面积
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> da为l4在xoy面上的投影,∴dσ=d4.cosy, C0sy=,42,A2 +f 十 J d4=、1+f2+f2lo曲面s的面积元素 4= ∫+厂2+flo, 曲面面积公式为:A=1+()+()d D Http://www.heut.edu.cn
d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2 = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： A dxdy Dxy y z x z = + + 2 2 1 ( ) ( )
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面积公式为:A=1+()+()d; 3.设曲面的方程为:y=h(x,x) 曲面积公式为:A=∫1+()+()hd D Http://www.heut.edu.cn
３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) . 2 2 A dzdx Dzx x y z y = + + ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ( ) ( ) ; 2 2 A dydz Dy z z x y x = + + 同理可得
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求球面x2+y2+z2=a2,含在圆柱体 x2+y2=ax内部的那部分面积 解由对称性知A=441, D1:x2+y2≤ax(x,y≥0) 曲面方程z=√a2-x2-y 0.5 于是1+()+(傍) Http://www.heut.edu.cn
例 1 求球面 2 2 2 2 x + y + z = a ，含在圆柱体 x + y = ax 2 2 内部的那部分面积. 由对称性知A = 4A1 , D1：x + y ax 2 2 曲面方程 2 2 2 z = a − x − y , 于是 ( ) ( ) 2 2 1 y z x z + + , 2 2 2 a x y a − − = 解 (x, y 0)