例7求积分sin(In x)dx.二解: x sin(In x)- [ xd[sin(In x))sin(ln x)dx== x sin(ln x)-[ xcos(ln x).- dx= x sin(ln x)- x cos(ln x) + xd[cos(ln x)Isin(Inx)dx= x[sin(ln x)-cos(lnx)]sin(ln x)dx = =[sin(ln x) - cos(ln x)I + C.2>注意：分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分.注意最后一定要加上积分常数C
例7 求积分 sin(ln ) . x dx 解 sin(ln ) x dx = − x x xd x sin(ln ) [sin(ln )] 1 x x x x dx sin(ln ) cos(ln ) x = − = − + x x x x xd x sin(ln ) cos(ln ) [cos(ln )] = − − x x x x dx [sin(ln ) cos(ln )] sin(ln ) sin(ln ) x dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x = − + x x C ➢注意：分部积分过程中出现循环，实质上是得到 待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分.注意 最后一定要加上积分常数C
法2:令t=lnx,则x=e,dx=e'dt原式=[e'sintdt1et(sint -cost)+C-21-[sin(In x)-cos(In x)l +C2
法2： ln , , d d t t 令t x x e x e t = = = 则 sin d t = e t t 原式 1 (sin cos ) 2 t = − + e t t C 1 [sin(ln ) cos(ln )] 2 = − + x x x C
练习：[eax cos βxdxcos βxdeaxfea* cos βxdx解一C=αp1ea* cos βx+axsin βxdxeααβ1eaxsin βxdeaxcos βx +Q2αB2βsin βx-1eax cos βx +axeax cos βxdxC2ααeerJea* cos βxdx [acosβx+βsinβx]+C二+B22α一eer类似的[ea* sin βxdx [αsinβx-βcos βx]+C二α°+ β?
2 2 2 1 cos sin cos x x x e x e x e xdx = + − 2 2 cos [ cos sin ] x x e e xdx x x C = + + + 2 2 sin [ sin cos ] x x e e xdx x x C = − + + 类似的 练习： cos x e xdx 1 cos cos x x e xdx xde = 1 cos sin x x e x e xdx = + 2 1 cos sin x x e x xde = + 解
可用表格法法2: I =[eax cos βxdx求多次分部积分-βcos βxcosβx-βsin βx+[+1axeeraxe2QαβReaxeateaxcosβxdxcos βx+sinBxQ2αeer(α cos βx + βsin βx)+Cα?+β2
可用表格法 求多次分部 积分 cos x I e xdx = 2 cos sin cos x x x − − 2 1 1 x x x e e e + − + 2 2 2 1 cos sin cos x x x I e x e x e xdx = + − 2 2 ( cos sin ) x e I x x C = + + + 法2 ：
练习[x(lnx)* dx.解：令u=lnx,则x =e",dx=e"du原式- [e3"-u".e" du =[u'e4" du44u3012u?24u24I-[++十4u4u14u14u14u4u1ee114e45eAee4333324u原式+C-uVAu+一32--184333-+(n*x-*+1+C一InInx+x-一8324
3 4 x x x (ln ) d . 练习 ln , , d d u u 解：令u x x e x e u = = = 则 3 4 d u u = e u e u 原式 4 4 d u = u e u 4 u 4u e 3 4u 2 12u 24u 24 0 1 4 4 u e 2 1 4 4 u e 3 1 4 4 u e 4 1 4 4 u e 5 1 4 4 u e + − + − + ( ) 1 3 3 3 4 4 3 2 4 4 8 32 u 原式 = − + − + + e u u u u C ( ) 1 3 3 3 4 4 3 2 ln ln ln ln 4 4 8 32 = − + − + + x x x x x C −