I xarctanxdx.例3求积分解： 令u=arctanx,dxdx == dv2x arctan xdx = [ arctan xd2X+d(arctanx)arctanx--2x-22x-2x-221一dxarctanx21+x(.(1)drarctanx(x -arctanx)+ C.arctanx-2
例3 求积分 arctan . x xdx 解: 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 2 arctan arctan 2 x x xdx xd = (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − +
例4求积分「x"Inxdxx解:u=lnx, xdx=dd= dv4+[ x' In xdx = [ In xd4-x*In x -d+C一L16总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设幂函数为 ，而对数函数或反三角函数为 u
例4 求积分 ln . 3 x xdx 解: u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d = 4 3 ln ln 4 x x xdx xd = = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设幂函数 为 v ，而对数函数或反三角函数为 u
e* sin xdx.例5求积分-I sin xde*e"sinxdx解一:=e" sinx- {e"d(sinx)= e* sin x -[e* cosxdx = e* sinx - [cosxde'=e* sinx-(e* cosx-fe*dcosx)e"sinxdx=e"(sinx-cosx)注意循环形式ete* sin xdx=(sin x - cosx) +C.2
例5 求积分 sin . e xdx x 解一： e xdx x sin = x sin xde = e sin x − e d(sin x) x x = e x − e xdx x x sin cos = − x x e sin x cos xde = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
=-Je*d(cos x)e* sin xdx解二:= -e* cos x + [e* cos xdx= -e* cosx+ [e*d(sinx)注意循环形式e* sin xdx=-e* cosx+e*sinx-ete* sin xdx =(sinx-cosx)+C.2总结：若被积函数是正(余)弦函数和指数函数的乘积，原则上哪个作为或都可以，但注意要前后一致
解二： sin (cos ) x x e xdx e d x = − cos cos x x = − + e x e xdx cos (sin ) x x = − + e x e d x cos sin sin x x x = − + − e x e x e xdx e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注 意 循 环 形 式 总结： 若被积函数是正(余)弦函数和指数函数的 乘积, 原则上哪个作为 或 都可以，但注意 要前后一致. v u
例6secxdxsec"xdx解= [ sec xd tan x= sec x tan x - [ tan’ x sec xdx= sec x tan x+ [ sec xdx -[ sec' xdxsecxdx= sec x tan x + In sec x + tan x-1→ sec' xdx == sec x tan x+=ln(sec x+tanx)+C22
例 6 3 sec xdx 解 3 sec xdx = sec tan xd x 2 = − sec tan tan sec x x x xdx 3 = + − sec tan sec sec x x xdx xdx 3 = + + − sec tan ln sec tan sec x x x x xdx 3 1 1 sec sec tan ln(sec tan ) 2 2 = + + + xdx x x x x C