设函数f(x)在闭区间[a,bl上连续定理3(介质定理)在这区间的端点取不同的函数值f(a) = A及f(b) = B那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点(a<<b), 使得f()=.V连续曲线弧几何解释：MRy=f(x)与水平直线y=CE至少有一个交点，a0bXXAm
MBCAm a x 1 1 2 3 x 2 b x y ( ) y f ( x ) . y f x y C 连续曲线弧 与水平直线 至少有一 几 解释：个交点 何 ( ) [ , ] ( ) ( 3( ) ) ( , ) ( ) ( ) . f x a b f a A f b B A B C a b a b f 设 函 数 在 闭 区 间 上连续， 在这区间的端点取不同的函数值 及 那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 定理 介质定理
证 设β(x)= f(x)-C,则p(x)在[a,b]上连续且p(a)= f(a)-C= A-C,p(b)= f(b)-C= B-C,日≤e(a,b),使:Φ(a)·p(b)<0, 由零点定理,g(5)=0, 即p(5)= f(5)-C=0, f(5)=C.推论：在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M，其中m与M依次为f()在[a,b]上的最小值与最大值即：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值
( ) ( ) 0, a b 由零点定理, ( , ), a b 使 ( ) 0, 即 ( ) ( ) 0, f C f C ( ) . 证 设( ) ( ) , x f x C 则( ) [ , ] , x a b 在 上连续 且( ) ( ) , a f a C A C ( ) ( ) , b f b C B C 推论：在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)的值 域为闭区间[m, M],其中m与M依次为f(x)在 [a, b]上的最小值与最大值. 即：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值m 之间的任何值