82函数的幂级数展开由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的承数在某个区间上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供了一种新的方法一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式邀回后页前页
前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数
一、泰勒级数在第六章$3的泰勒定理中曾指出，若函数f在点x的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则()= f(x)+ F(x)(x- x)+ 致(x- x,) +L2!+f"()(x- x,)"+ R,(x),(1)n!这里为R,(x)拉格朗日型余项f(n+1 (x)T(2)R,(x)X(n + 1)!后贡巡回前页
前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 这里为 拉格朗日型余项
其中x在x与x之间,称(1)式为f在点 x,的泰勒公式由于余项R,(x)是关于(x-x)"的高阶无穷小,因此在点 X附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论再进一步,设函数在X二X,处存在任意阶导数，就可以由函数f得到一个幂级数f(x)+ fx,)(x- x)+ fx)+1V-2!+f"()(x- x.)" +L ,(3)n!回前页后页
前页 后页 返回 由于余项 是关于 的高阶无穷小, 因此 在点 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 的泰勒公式
通常称(3)式为f 在 X = X 处的泰勒级数. 对于级数(3)是否能在点 X,附近确切地表达f, 或者锐级数(3)在点X,附近的和函数是否就是f本身，这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子例1由于函数-120x=010,在x二0 处的任意阶导数都等于0 （见第六章84第二段末尾)，即后贡巡回前页
前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 在点 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 在 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即
f(")(0) = 0, n =1,2,L ,因此f在x=0的泰勒级数为%x+L+%*+L.00+0xx+-2!n!显然它在(-?,十?)上收敛,且其和函数 S(x)=0. 由此看到,对一切 x 1 0都有f(x)1 S(x).上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？巡回后贡前页
前页 后页 返回 因此 f 在 的泰勒级数为 显然它在 上收敛, 且其和函数 . 由 此看到, 对一切 都有 . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?