《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）定积分的性质

令T=T'+T"（T表示把T'与T"的所有分割点合并而成的新分割，则fs = sup / f(x')g(x')- f(x")g(x") /x,x"eA,≤sup ( I g(x)// f(x)-f(x")l+/f(x")llg(x)-g(x")// x,x" eA,<Mo, +Mo?.于是EofAr,sMEoAx,+MEoAr,TTT≤mEo, Axr, +mEo'ArTHT!后页返回前页

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x

88+ M<M6.三2M2M因此fg在「a,bl上可积性质4 f 在[a,b|上可积的充要条件是:Vce(a,b),f 在[a,c]与[c, b]上都可积.此时且有' f(x)dx = J, f(x)dx + f" f(x)dx证(充分性) 若f 在[a, cl 与[c, bl 上可积,则Vε>0,[a,cl与[c,bl上分割T'与T",使得后页返回前页

前页 后页 返回 . 2 2     + = M M M M f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则

8SZa,ArZaoAr<<2T'T令T=T'+T",它是[a,bl的一个分割Eo,Ar,-Eo,Ar, +EoAr'<8.TTT因此，f在[a,b]上可积(必要性)已知 f在[a,bI上可积,则Vε>0,3T,使の,Ax,<6.在T上加入分点c得到新的分割T*T由S3习题第1题，知道后页返回前页

前页 后页 返回 . 2 , 2           T i i T ixi x 令 它是 的一个分割 T T T a b = + , [ , ] ,  =   +   .  T i i T i i T ixi x x (必要性) 已知 在 上可积 则 f a b T [ , ] , 0, ,     因此, f 在 [a, b] 上可积. Δ . i i T 使   x  在T上加入分点 c 得到新的分割 T .  由§3习题第1题, 知道