81傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来果便利，但对函数的要求很高（无限次可导）.如公简函数没有这么好的性质，能否也可以用一些单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数级呢？这就是将要讨论的傅里叶级数·傅里叶茶数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用，是又一类重要的级数一、三角级数·正交函数系二、以2p为周期的函数的傅里叶级数三、收敛定理后页返回前页
前页 后页 返回 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数
一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动，可用正弦函数(1)y=Asin(wx+j )来描述.由（1)所表达的周期运动也称为简谐振动其中A为振幅 1 为初相角,W 为角频率,于是简诺振动y 的周期是 T= 2。 较为复余的周期运动, 则w常常是几个简谐振动后贡邀回前页
前页 后页 返回 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动
ys = A, sin(kwx+j ),k =1,2,L ,n的叠加：nn(2)y=a ys =a A, sin(kwx+j r).k=1k=1T ae,2元0由于简诸振动,的周期为k =1,2,L ,n,1kεw0所以函数（2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数N(3)A +a A, sin(mwx+j ,).n=1若级数(3)收敛，则它所描述的是更为一般的周期运邀回后页前页
前页 后页 返回 由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
动现象 对于级数(3),只 须讨论 W =1(如果 W 1 1可用WX代换x)的情形. 由于sin(nx +j n) = sinj , cosnx + cosj , sinnx,所以￥A, +a A, sin(nx+j n)n=1?(39= A, + a (A, sinj , cosnx + A, cosj n sinnx).（n=1-"g, A, sinj ,=a,A,cosj , =b,n=1,2,L,记 A.2后贡邀回前页
前页 后页 返回 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 (如果 可 用 代换x )的情形. 由于 所以
则级数(3）可写成￥'f + a (a, cos x + b,sin nx).(4)2n=1它是由三角函数列（也称为三角函数系）1,cos x,sin x,cos2x,sin 2x,L ,cos nx,sin nx,L(5)所产生的一般形式的三角级数容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以2元为周期的函数关于三角级数（4)的收敛性有如下定理：返回前页后贡
前页 后页 返回 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成