gi(A) = q(A)g2(A) + r(A) = 0. r(A)=0r(x) = 0,由最小多项式的定义，即， g2(x)gi(x).同理可得，8(x)g2(x):: gi(x)=cg2(x), c±0.:c=1又gi(x),82(x)都是首1多项式故gi(x)=g2(x)67.9最小多项式V
§7.9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0, = 即， 2 1 g x g x ( ) ( ). 同理可得， 1 2 g x g x ( ) ( ). 1 2 = g x cg x c ( ) ( ), 0 1 2 g A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0 又 1 2 都是首1多项式, g x g x ( ), ( ) = c 1 故 1 2 g x g x ( ) ( ). =
2.（引理2）设g(x)是矩阵A的最小多项式，则f(x) 以A为根 台 g(x)f(x).证：充分性显然，只证必要性由带余除法，f(x)可表成f(x) = q(x)g(x) +r(x),其中r(x) =0 或 a(r(x))<a(g(x)于是有f(A)=q(A)g(A)+r(A)= 0.: r(A)=087.9最小多项式A
§7.9 最小多项式 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根 g x f x ( ) ( ). 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f x( ) 可表成 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或 ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有 f A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0