电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第3章几类重要随机过程 第4节 泊松过程（二）

§3.4泊松过程（二） 三、更新计数过程 定义3.4.1设{N),20}是一个计数过程， 如果它的时间间隔序列T,T,Tm,.相互独 立同分布，称为更新计数过程， 例同类型设备的更新，如 一个元件；一个灯泡；一个系统… 技大学

电子科技大学 §3.4 泊 松 过 程(二) 三、更新计数过程 定义3.4.1 设{N(t), t≥0}是一个计数过程， 如果它的时间间隔序列T1 ,T2 ,…,Tn , …相互独 立同分布，称为更新计数过程. 例 同类型设备的更新，如 一个元件； 一个灯泡； 一个系统…

假定每个更换对象的寿命具有相同的概率密度， 则相继两次损坏之间的更新时间T,T,.相互独 立同分布. 定理3.4.1更新计数过程{N(t),仑0}是泊松过 程的充要条件是时间间隔T具有指数分布。 注 等价于时间间隔序列T,T),Tm…相互独立 同服从相同指数分布 证 由定理3.3.2知必要性，仅需证充分性，应有

电子科技大学 假定每个更换对象的寿命具有相同的概率密度， 则相继两次损坏之间的更新时间T1 ,T2 ,…相互独 立同分布. 定理3.4.1 更新计数过程{N(t ),t≥0}是泊松过 程的充要条件是时间间隔T具有指数分布. 等价于时间间隔序列T1 ,T2 ,…,Tn ,…相互独立 同服从相同指数分布. 注 证 由定理3.3.2 知必要性,仅需证充分性, 应有

P(N(t)=k= 2e, (k=0,1,2,…,2>0) : T的特征函数为 指数分布 Px(0)=p(0= iu 特征函数 1一 k 等待时间 Wk=∑T, i=1 且T1,T2,…,T相互独立，故 也技大学

电子科技大学 , ( 0,1,2, , 0) ! ( ) { ( )  }       e  k  k t P N t k t k 1 ( ) ( ) , 1 Ti u T u iu       Ti的特征函数为 指数分布 特征函数 , 1    k i 等待时间 Wk Ti 且T1 ,T2 ,,Tk相互独立，故

,四=p,= (k=1,2,）》 由特征函数的反演公式及唯一性定理知，W 的密度函数为 (2te, t>0; f()=(k-1月 0, t≤0. 分布猫家有天0小-是四 t>0 i=0 0, t≤0. 科技大

电子科技大学 ,  1,2, [1 ] 1 ( ) [ ( )]     k iu u u k k Wk T    由特征函数的反演公式及唯一性定理知,Wk 的密度函数为            0, 0. , 0; ( 1)! ( ) ( ) 1 t t e t f t k k t k wk   分布函数为              0, 0. , 0 ! ( ) 1 ( ) 1 0 t e t i t F t k i t i wk  

因 {Wk≤t}={N(t)≥k} 故 P{N(t)=k=P{N(t)≥k-P{N(t≥k+1 =Fw()-Fw+,() () e (k=0,1,2,…,2>0) k! N(),20}的概率分布为泊松分布，即N(t)~P(2) 店技大学

电子科技大学 {W t} {N(t) k} 因 k    故 P{N(t)  k}  P{N(t)  k} P{N(t)  k  1} ( ) ( ) 1 F t F t wk wk   , ( 0,1,2, , 0) ! ( )       e  k  k t t k {N(t), t≥0}的概率分布为泊松分布,即N(t)～P(t)