电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识 第5节 特征函数

随机地程及应用 精品课程 第1章第5节特征函数

第1章第5节 特征函数

特征函数 §1.5特征函数 一、特征函数的定义及例 设X,Y是实随机变量，复随机变量 Z=X+jY, 的数学期望定义为 E(Z)=E(X)+jE(Y), j=v-1 特别 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 一、特征函数的定义及例 设X, Y是实随机变量,复随机变量 Z=X + jY, 的数学期望定义为 E(Z)  E(X)  j E(Y ), j  1 特别 §1.5 特征函数

特征函数 E(eix)=E(costX)+jE(sintX) X是实随 机变量 =costxdF(x)+jsintxdF( =e匹d) 求随机变量 X的函数的 数学期望 注 1)Vt∈R,costx和sintx均为有界函数，故 E(ejtx)总存在. 2)E(etx)是实变量t的复值函数. 电子科技大学

特征函数 电子科技大学        costxdF(x)  j sintxdF(x)       e dF( x) itx 注 E(e ) E(costX) jE(sintX) jtX   X是实随 机变量 求随机变量 X的函数的 数学期望

特征函数 定义1.5.1设X是定义在（①，？P)上的随机变 量，称 p(t)=E(ex)=∫emdF(x,t∈R 为X的特征函数. 当X是连续型随机变量 关于X的分布函 数的Fourier- (t)=ef(x)dx; Stieltjes变换 当X是离散型随机变量 p()）=∑eap: 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 定义1.5.1 设X是定义在(Ω,F, P )上的随机变 量,称 ( ) ( ), jtX jtx E e e dF x t R       为X的特征函数. 关于X的分布函 数的Fourier- Stieltjes变换 当X是连续型随机变量    φ(t)  e f (x)dx; jtx φ( )   . k k jtx t e p k 当X是离散型随机变量 φ(t)

特征函数 Ex.1单点分布P{X=c}=1, p(t)=E(ec)=e,t∈R. Ex.2两点分布 p(t)=ei(1-p)+eip =1-p+per=q+pe",t∈R. Ex.3二项分布 p(t)=(q+per)”,t∈R Ex.4泊松分布 p(t)=e2e-),t∈R 电子科技大学

特征函数 电子科技大学 Ex.1 单点分布 P{X  c}  1, φ(t)  E(e )  e , t  R. jtc jtc Ex.2 两点分布 t e p e p jt 0 jt 1 φ( ) (1 )      1 p pe q pe , t R. jt jt       Ex.3 二项分布 t q pe t R jt n φ( )  (  ) ,  Ex.4 泊松分布 t e t R jt e    φ( ) ,  ( 1)