第2章矩阵与向量 ·45· 1 3 2 13 -2 一1 0 10 3 5 -4 -8 -4 -1 -3 -5 2 0 0 0 0 12 -1 -4 -3 o -7 -14 -7 1 3 27 135 1 84 1 2 0121 -8 0000. 00 0 0000 0-7-14 7 L0000 右端阶梯形矩阵有2个非零行，故R(a1,a,a,a)=2,它小于向量组中向量的个 数4，所以向量组a1,a2,a3,a:线性相关 取阶梯形矩阵的两个非零行的首个非零数所在列对应的原向量组中向量， a作为一个最大无关组时，为将剩余的向量a:,a:分别用最大无关组线性表示， 继续对阶梯形矩阵作初等行变换如下。 「1 3521 1352 10-1 -1 -2-10 1 0121 012 1 3 57 2~0000-3000 0 -1 -3-5 -2 0000 00 0 0 2 -1-4 -3 0000J 000 0 由以上行最简形的列向量之间的线性关系： 「-17 「-1 /07 0 0 0 0 0 0 Lo 0 即得 a1=-a1十2a2,a4=-a1十a2 解法三将a,a,a,a:作为矩阵的行向量，并对矩阵作初等行变换如下 1-23-121a -23-1 21 3 -15-3-1a-别 05 -40 -7a2-3a 07-5-4a3-2010 -80 -14a-5a 2 12 -2-3Ja Lo 5 -40 -7Ja-2a
·46· 线性代数学习指导 1-23-121 a 205-40-7a-3a -n00 000a-2a+a L00 000」a:-a2十a 右端阶梯形矩阵有2个非零行，故R(a,a,a,a:)=2,它小于向量组中向量的个 数4，所以向量组a1,a2,a,a4线性相关. 取阶梯形矩阵的两个非零行对应的原向量组中向量α，a:作为一个最大无关 组时，由 a1-2a2+a1=0,a4-a2+a1=0, 即得 a=2a2-a1,a4=a2-a1. 注该向量组的全部最大无关组为a1,a2:a1,a:a1,a4:a2,a;a2,a4a,a. 例3设向量组a,a,a,a,线性无关，则下列线性无关的向量组是 A.a-a:,a:-as,as-a:a-a Ba十a,a2十a,a十a4,a+a C.a1十a2,a2十a,a-a,a4一a D.a+a:,a:-a,a-a,a-a 分析A中(a1-a2)+(a2-a)十(a-a)十(a:-a1)=0 B中(a1+a2)-(a2+a)+(a十a)-(a十a)=0. C中(a1十a2)-(a2+a3)+(a8-a1)+(a1一a1)=0. 由定义可知，向量组A、B、C均线性相关，用排除法应选D. 解选D. 注此例是利用每组向量的特点找到相互间关系的等式，用定义判定其线性 相关性的，该方法需要一定的技巧 一般地，若已知向量组a1,a2,.,a,线性无关，向量组B,B,.,B可由向量 组a1,a,a,线性表示，即有 B=ca1十ca2十.十c, B=c2a十c2a:十.十c,a B.=ca1十c2a2十.十Cna, 「91cg·c9r 则向量组B,B,.,B线性无关曰R c21c22·c2 r