·40 线性代数学习指导 (6)任意n十1个n维向量必定线性相关 (7)设有r维向量组 a=(a1a2,.,aw),i=1,2.,s 及(>r)维向量组 a=(anaa.,.,a)i=1,2,.,s 如果向量组a1,a2,.,a,线性无关，则向量组a,a,.,a线性无关 (8)向量组与其最大无关组等价. (9)同一个向量组的任意两个最大无关组等价 (10)设A是非零矩阵，则R(A)=r曰A的不为零的子式的最高阶数是r(即 A至少存在一个不为零的r阶子式，而所有的十1阶子式全为零). (11)n维单位坐标向量组 0 0 .1 是线性无关向量组.由此生成的向量空间 R={a=a181十a2B2+.+a,e|a1a2,.,an∈R 称为n维向量空间，数a1,a2,.,4m称为向量a在基61，B2,.,8。下的坐标 (12)设a1,a.,a,:B,B.,B.都是r维向量空间V的基，且 B=cma1十c12a2十.十Ca B2=c1a1十c22a+.十c2,a, B.=c11+c2a1十.+ca, 称矩阵 C cc2.c 为由基a1,a2,.,a到基B1,B,.,B.的过渡矩阵。 5.方法归纳 1)一个向量B能否由向量组a1,a2,am线性表示？如何表示？
第2章矩阵与向量 ·41· 方法一用定义。 由于 k1a+ka十.十kam=B(a1a2.an)x=B 「k 其中(a12.am)是以a1,a2,.,am为列向量构成的矩阵，向量x km 若方程组(a1a.a)x=B无解，则B不能由a1,a.,am线性表示. 若方程组(a1a2·am)x=B有解，则B可由a1,a2,am线性表示，且 方程组有唯一的解时，表示法唯一：方程组有无穷多解时，表示法不唯一一 方法二用初等行变换， 以a1,a2,.,am·B为列向量构成矩阵(a1a.am)后，用初等行变换 将其化为阶梯形矩阵，并求R(aa2.a)及R(a1a·am). 若R(a1a.an)<R(a1a.a),则B不能由a1,a.,a 线性表示. 若R(aa.an)=R(a1a.aB),则B可由a1,a2.,am线 性表示.此时，继续用初等行变换将矩阵(a1a2.am)化为行最简形后，行 最简形第m十1列的数即为将B用a1,a2,.,a线性表示时相应的系数. 特别地，取n维单位坐标向量组1,82，8作为R”的一个最大无关组时，对 y ae ∈R,有 =a181十a28十.十aen a 2)向量组B,B,.,B能否由向量组a1,a2.,a线性表示？ 方法一用定义， 证明每一个向量B(i=1,2,.,s)均可由a1,a2,.,am线性表示. 方法二用向量组的秩 向量组B,B,B能由向量组a1,a,.,am线性表示 =R(B,.,B)≤R(a1,ae.,an）=R(a1,a.,am.BB.,B)
·42· 线性代数学习指导 3)两向量组a1,ag.,amB,及，.，B是否等价？ 方法一用定义 证明每一个向量B(i=1,2,.,s)均可由向量组a1,a2,.,am线性表示，且每 一个向量a,(i=1,2,.,m)均可由向量组B,B,.,B.线性表示 方法二用向量组的秩 若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一向量组线性表示，则这两 个向量组等价. 方法三用有关结论。 向量组与其最大无关组等价：同一个向量组的任意两个最大无关组等价：等价 向量组的两个最大无关组等价等， 4)求向量组（或矩阵）的秩的一般方法 方法一用初等变换 用已知向量a1,a2,.,am构成矩阵A,并用初等变换将A化为阶梯形矩阵. 设阶梯形矩阵的非零行数为r,则 R(a1,a2,an）=R(A)=r 方法二用有关结论. 等价向量组（或矩阵）的秩相等：向量组(I)可由向量组（Ⅱ）线性表示，则 R(I)≤R(Ⅱ)：可逆矩阵是满秩矩阵等， 5)判断向量组线性相关性的一般方法 方法一以下命题等价： an an (1)向量组a1= an 422 ,.,gm 线性无关： (2)仅当k1,k2,.,kn全为零时，有k,a1十k2a2十.十kam=0 d1k十a21k2十.十=0, (3)齐次线性方程组 ak十a十十ak.=0仅有零解 a1,k1十a2,k:+.十aknm=0 (4)向量组a1,a2,.,am为最大无关组： aua21.aml] (5)R(a1,a.,an)=R
第2章矩阵与向量 ·43· 特别地， an an 向量组a: a a 线性无关 an .aml a12 .a 行列式 a.a a2a .a2 ≠0. 方法二用有关结论. 可逆矩阵的行（列）向量组是线性无关组（第3章）；若B×mAm×m=E(n≤m)。 则矩阵Ax,的列向量组线性无关（第3章）：齐次线性方程组的基础解系是线性无 关组（第4章）：与一方阵不同特征值对应的特征向量是线性无关的（第5章）：正交 向量组是线性无关组（第5章）等。 6)求向量组的最大无关组的一般方法 方法一用定义逐个选录。 方法二用初等变换」 用已知向量构成矩阵，并用初等变换将其化为阶梯形矩阵.此时，阶梯形矩阵 的每一非零行的第一个非零元素所在行或列对应的原向量组中的向量构成了向量 组的一个最大无关组 方法三用有关结论 在用已知向量构成的矩阵中，找出一个阶数最高的非零子式，与这个子式的行 或列对应的原向量组中的向量就是向量组的一个最大无关组：齐次线性方程组的 一个基础解系是其全部解向量的一个最大无关组等。 三、典型例题解析 例1讨论下列向量组的线性相关性： (1)(1,2,1).(2.4.5): (2)(1,1.-1).(0.2,3),(2,1,2): (3)(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0),(3,4,5): (4)(1.2,1,2),(0,1.-1.1),(1.3,0,3) 分析上述向量组的线性相关性均可利用矩阵的初等变换，求出每个向量组 的秩后进行判断.考虑到向量组线性相关性的判定方法有很多，以下仅就每个向量 组的特点给出一种解法
·44· 线性代数学习指导 解(1)向量组仅含两个向量，其对应分量不成比例，故向量组(1)线性无关 (2)向量组由3个三维向量组成.由行列式 11-1 023=11≠0 212 可知，向量组(2)线性无关 (3)向量组由4个三维向量组成，故线性相关 (4)对向量组中的向量构成的矩阵进行初等变换如下： 12120 1212 1212 01-1101-1i 01-11 1303J L01-11 0000 07 1011 1017 成？13801 1 011 1-10=2m0-1-1000 213别 1 1 000 右端阶梯形矩阵的非零行数2就是该向量组的秩，它小于向量组中向量的个数3， 故向量组线性相关. 注求向量组的秩时，用已知向量作为矩阵的行向量还是列向量，对矩阵进行 的初等变换是行变换还是列变换，均不影响矩阵或向量组的秩 例2判断向量组 a1=(1.-2,3,-1.2)'.a2=(3,-1,5,-3-1)' a=(5,0.7,-5,-4)',a1=(2,1,2.-2,-3)/ 的线性相关性，求其秩及一个最大无关组，并将剩余向量用最大无关组线性表示 分析判断向量组线性相关性有多种方法，解题时可根据需要，尽量选用一法 多解（即用一种方法能同时解决求向量组的秩、判断线性相关性、求最大无关组，以 及将剩余向量用最大无关组线性表示)的方法 解解法一逐个选取. 向量a≠0，故R(a,a2,a,a:)≥1：由向量a,a:的对应分量不成比例知， a1,a2线性无关，R(a1,a2,a,a)≥2：而由a=2a一a1以及a=a一a1知，向量 组a1,a2,a1,1线性相关，且R(a1,a2,a,a,)=2. 取a1,a2作为向量组a:,a2,a,a:一个最大无关组时，有 a3=2a-a1,a=a-a 解法二将a1,a,a,a:作为矩阵的列向量，并对矩阵作初等行变换如下：