例2设siny+xe=0,求y解 法一利用隐函数求导法将方程两边对x求导,得cos y· y'*+1.e" +xe'.y' = 0解出,得eyy=cos y+ xey法二从原方程中解出x,得-sin y=-e-ysin yx=ey
例2 解 sin 0, y 设 y xe + = . x 求y 法一 利用隐函数求导法. 将方程两边对x求导,得 cos y x y y + 1 e y + x e x y = 0 y y x y xe e y + − = cos 解出 , x y 得 法二 从原方程中解出 x, 得 = − = y e y x sin e y y sin − −
-sin y=-e-'sin yx=ey先求x对y的导数,得x, = -[e-}.(-1)sin y+e-y.cos y]-e-'(cos y-sin y)cos y-sin yes再利用反函数求导法则，得Lcos y+ xej
e y e y x y y sin sin − = − − = 先求 x 对 y 的导数, 得 x y = e (cos y sin y) y = − − − y e cos y − sin y = − 再利用反函数求导法则, 得 y x x y = 1 y y y xe e + − = cos [e ( 1)sin y e cos y] y y − − + − −
例3设曲线C的方程为x3+y3=3xy，求过C上点的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点解方程两边对x求导，3x2+3y2.y=3y+3xyy-x=-1.[() J2-x[()33切线方程即x+y-3=0.2233即法线方程V=x通过原点V22
例3 设曲线C的方程为 , 求过C上点 的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点. 解 2 3x y x y x y − − = 2 2 = −1. 切线方程 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x y + − = 3 0. 2 3 2 3 y − = x − 即 y x = , 2 + 3y y = 3 y + 3xy 法线方程 通过原点. 2 3 , 2 3 2 3 , 2 3 3 3 x y xy + = 3 3 3 ( , ) 2 2 方程两边对x求导
例4设x-xy+=1,求y"在点(0,1)处的值.解 方程两边对x求导,得+4r.y40将上面方程两边再对x求导,得+121312.016(0,1)
例4 4 4 设 x xy y y − + = 1, (0,1) . 求 在点 处的值 解 3 4x y x求导,得 2 12x . 16 1 = − 3 − y − xy + 4 y y = 0 − y− y− xy + y y y 2 12 3 + 4 y y = 0 (0,1) 4 1 = 将上面方程两边再对 y (0,1) 0 1 0 1 0 0 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 方程两边对x求导, 得
设x*-xy+=1,求y"在点(0,1)处的值.或解方程两边对x求导,得4x3 - y- xy' + 4y"y= 0解得 J'=-4x3(0,1) =44y3-x将y=-4x3两边再对x求导，得4y3 -xJ" = ('-12x")(4y* --) - (y- 4x*)(12y* y'-1)(4y3 - x)(0,1)16
4 4 设 x xy y y − + = 1, (0,1) . 求 在点 处的值 或解 4 4 0 3 3 x − y − xy + y y = 解得 y x y x y − − = 3 3 4 4 y = y (4 ) 3 ( 12 ) y − x 2 y − x 3 2 − ( 4 )(12 1) y x y y − − ; 4 1 = (0,1) y (0,1) . 16 1 = − 方程两边对x求导, 得 将 两边再对x求导, 得 3 3 4 4 y x y y x − = − 3 2 (4 ) y x −