洛必达（LHospital）法国数学家1661-1705)第二节洛必达法则08型,型未定式080.80,80一80型未定式0°,1°,80°型未定式小结 思考题
小结 思考题 0,−型未定式 0 0 ,1 , 0 型未定式 第二节 洛必达法则 洛必达 (L‘Hospital) 法国数学家(1661-1705) 型 型未定式 , 0 0 ◼ ◼ ◼ ◼
定义如果当x→a(或x→8)时,两个函数f(x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,那末极限0f(x)8称为=lim或一型未定式。F(x)0x-→a8(x-→0)In sin axtan xlim如,limx->0 In sin bxx-→0x未定意味着关于它的极限不能确定出一般的结论，而并不是在确定的情况下关于它的极限不能确定在第一章中看到，两个无穷小之商或两个无穷大之商,其极限都不能直接利用极限运算法则来求
如果当x → a(或x → )时, 其极限都不能直接利用极限运算 在第一章中看到, 无穷大之商, 法则来求. 称为 ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 那末极限 定义 0 0 或 型未定式. 如, x x x tan lim →0 bx ax x lnsin lnsin lim →0 ) 0 0 ( ( ) 未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的 不能确定. 结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 两个无穷小之商或两个 两个函数 f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大
这一节介绍一个求未定式极限的有效方法f(x)此方法的关键是将lim的计算问题转化为F(x)x-→a(x-→0)f'(x)lim的计算.其基本思想是由微积分著名F'(x)x→a(x-→00)先驱，17世纪的法国数学家洛必达(LHospital)提出的,后人对他的思想作了推广,从而产生了简便而重要的洛必达法则
这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将 ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 的计算问题转化为 ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 的计算. 其基本思想是由微积分著名 先驱, 从而产生了简 洛必达法则. 提出的,后人对他的思想作了推广, 17世纪的法国数学家洛必达(L‘Hospital) 便而重要的
08型,二型未定式08定理1设函数f(x)及F(x)满足条件(1)lim f(x) = 0(或o0), lim F(x) = 0(或0);x→a(2) f(x),F(x)在点a的邻域内可导(点a处可除外)且 F'(x)±0;f(x)= A(或);(3) limF'(x)x-→af(x)f(x)= A(或).则: limlimx-a F'(x)F(x)x-→a
定理1 设函数 f (x)及F(x)满足条件 一、 型 型未定式 , 0 0 ( ); ( ) ( ) (3) lim = → A 或 F x f x x a (2) f (x),F(x)在点a的邻域内可导,(点a 处 (1)lim ( ) = 0( ), → f x 或 x a lim ( ) = 0( ); → F x 或 x a 可除外)且 F(x) 0; = → ( ) ( ) lim F x f x x a 则 ( ). ( ) ( ) lim = → A 或 F x f x x a
(1)lim f(x) = 0, lim F(x) = 00证（仅对一型型给出证明0若f(x),F(x)在点a连续,则由条件(1)必有 f(a)= F(a)= 0.若f(x),F(x)在点a不连续由于lim f(x)=0,xalim F(x)= 0,可补充定义 f(a)= F(a)= 0.→-使f(x),F(x)在x=a点连续任取点x,a-s<x<a+s(不妨设x>a)f(x),F(x)满足1)在[a,x]上连续;2)在(a,x)内可导,且F(x)± 0.①)直泌(型在点4的邻域内可导(点β处除外)
证 若f (x),F(x)在点a连续, f (a) = F(a) = 0. (1)lim ( ) = 0, → f x x a lim ( ) = 0; → F x x a 则由条件(1), 必有 若f (x),F(x)在点a不连续, lim ( ) = 0, → F x x a f (a) = F(a) = 0. 使f (x),F(x)在x = a点连续. lim ( ) = 0, → f x x a 由 于 可补充定义 任取点x, a − x a + (不妨设x a). ) 0 0 (仅对 型给出证明 f (x),F(x)满足 2)在(a, x)内可导,且F(x) 0. 且 F(x) 0; 1)在[a, x]上连续; (2) f ( x),F( x)在点a 的邻域内可导(点 a 处除外)