《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分 4-3 第三节 分部积分法

第三节分部积分法分部积分公式例题小结思考题

第三节 分部积分法 ◼ 分部积分公式 ◼ 例题 ◼ 小结 思考题

分部积分公式一、xeydxarcsinxdx =xIn Xdx-特点被积函数是两个不同函数的乘积解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数两边积分(uv)'=u'v+uv'=uv'= (uv)'-u'vudx =uv-@vudv=uv-vdu分部积分公式

解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. (uv) = uv + uv uv = (uv) − uv  =  uv dx =  udv 分部积分公式 特点 被积函数是两个不同函数的乘积 设函数u = u(x)及v = v(x) 具有连续导数.  uv− u vdx   uv − vdu  两边积分 一、分部积分公式  xe x = x d  arcsinxdx = x ln xdx =

vduudy=uv-分部积分公式恰当选取u和d是一个关键选取u和dv的一般原则是：(1) 要易求;[vdu比[udy易求.(2)

恰当选取u和dv是一个关键, v要易求; udv uv vdu   = − 分部积分公式 选取u和dv的一般原则是:  vdu (1) (2)  比 udv 易求

[udv = uv - [ vdu二、例题例1求[xcosxdx.解 法一 u=cosx,dv=xdx, v:2du = -sinxdx.22xxcosxdx=sinxdxcos x +22显然，u,dv选择不当,积分更难进行法二 u= x, dv= cosxdxdu=dx, v=sinx(xcos xdx= xsinxsin xdx=xsinx+cosx+C

例1 求 cos d .  x x x  xcos xdx= x + x cos 2 2 显然, u,dv u = x, dv = cos xdx  xcos xdx= xsin x = xsin x + cos x +C 法二 二、例 题 du = dx, v = sin x  − sin xdx  x x x sin d 2 2 udv uv vdu   = − 选择不当, 积分更难进行. 解 法一 u = cos x, dv = xdx, , 2 2 x v = du = -sin xdx

udv = uvvdu x'e*dx.例2 求解 u=x2,dv = edxdu =2xdx, v= ex[x'e*dx=x'e*-xe"dx(再次使用分部积分法）u=x，dv=e*dx=xe*-2(xe*-e*)+C

例2 求 d . 2  x e x x 解 , 2 u = x v e x x d = d  x e x x d 2 = − x x e 2 x e xe e C x x x = − 2( − ) + 2 （再次使用分部积分法） u = x, v e x x d = d du = 2xdx, x v = e  xe x x 2 d udv uv vdu   = −