第一章绪论 在数学分析中所研究的函数，是自变量和因变量这两个互相对立又互相联系的对立统 一，它既是事物发展变化过程的抽象，又是定量描述事物发展变化的工具但在许多的实际 问题中遇到稍微复杂的一些运动时，却很难找到因变量与自变量（可能不止一个）之间的直 接联系，而只能建立这些变量和它们导数之间的关系这种联系若自变量、未知函数及它的 导数的关系式，我们称之为微分方程本章首先利用一些例子来说明如何建立微分方程数学 模型和讲述微分方程的基本概念 §1.1微分方程模型 例1人口动力学模型 设某地区在1时刻人口数量为x),在没有人员迁入或迁出的情况下，人口增长率与1时 刻人口数成正比，于是有微分方程 止=收 (1.1) 其中k为常数.上式(L.1)称为著名的马尔萨斯(Malthus)人口发展方程 假设该国家当1=0时初始人口数为x(0)=x。>0,注意到人口数量x0>0,可将方 程1.1)中的变量x和1分离开来，改写成 dx kdi (1.2) 两边0从到1积分，并加以整理得到 x(t)=xoe (1.3) 若一年作为单位取自然数变化，(13)式可改写成 xm_a=(e)” (1.4) Xo (1.4)式表明：该国家人口数按几何级数增长 例2数学中的几何模型 求过点(1.3)且切线斜率为2x的曲线方程. 设所求的曲线方程是y=(x),则根据题意应满足下面的关系 倍-2x 1.5) 0=3 (1.6) 这里x和y分别表示自变量和未知函数，)表示x=1时y的值求出满足(15)式的函 数，只需要首先把变量x和y分离，改写成(1.7)式 1
1 第一章 绪论 在数学分析中所研究的函数，是自变量和因变量这两个互相对立又互相联系的对立统 一，它既是事物发展变化过程的抽象，又是定量描述事物发展变化的工具.但在许多的实际 问题中遇到稍微复杂的一些运动时，却很难找到因变量与自变量（可能不止一个）之间的直 接联系，而只能建立这些变量和它们导数之间的关系.这种联系着自变量、未知函数及它的 导数的关系式，我们称之为微分方程.本章首先利用一些例子来说明如何建立微分方程数学 模型和讲述微分方程的基本概念. §1.1 微分方程模型 例 1 人口动力学模型 设某地区在t 时刻人口数量为 x(t) ，在没有人员迁入或迁出的情况下，人口增长率与t 时 刻人口数成正比，于是有微分方程 kx dt dx = （1.1） 其中k 为常数.上式(1.1)称为著名的马尔萨斯（Malthus）人口发展方程 假设该国家当t = 0 时初始人口数为 )0( 0 x = x0 > ，注意到人口数量 x(t) > 0 ，可将方 程(1.1)中的变量 x 和t 分离开来，改写成 kdt x dx = (1.2) 两边 0 从到t 积分，并加以整理得到 kt x t x e0 ( ) = (1.3) 若一年作为单位取自然数变化，(1.3)式可改写成 n k n e x x x x n ( ) ( ) 0 0 = = (1.4) (1.4)式表明：该国家人口数按几何级数增长. 例 2 数学中的几何模型 求过点 )3.1( 且切线斜率为2x 的曲线方程. 设所求的曲线方程是 y = y(x) ，则根据题意应满足下面的关系 = = )1( 3 )6.1( 2 )5.1( y x dx dy 这里 x 和 y 分别表示自变量和未知函数， y )1( 表示 x = 1时 y 的值.求出满足（1.5）式的函 数，只需要首先把变量 x 和 y 分离，改写成（1.7）式
dy =2x dx (1.7) 其次两边积分得 y=x-+c 这里c为任意常数这显然是此种函数的一般形式，它表示一簇曲线，簇中每一条曲线在点x 处的切线斜率均为2x,若将已知条件(1.6)式代入上式，可求c=2,则 y=x2+2 就是所求过点(13)且切线斜率为的曲线方程 例3经典力学模型 设一物体以初速。垂直上抛，假设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动 的路程s与时间1的函数关系.（假设物体开始上抛时的路程为5。） 建立这类数学模型的主要依据是牛顿(Newton)第二定律，即 F=ma 这里m为直线运动物体的质量，ā为其加速度，F为作用在该物体上的总外力. 依题意知该物体只受重力的作用，因而有 「ms"()=-mg 1.8) s0)=S。,s(0)=Vo (1.9) 这里设该物体的质量为m,重力加速度为g,且垂直向上的方向为正方向记物体的运动速 度v=s',所以(1.8)式可写为 d-8 (1.10) 把变量1和v分离，可改写成 dy=-gdr 显然，对上式积分一次得 =-g+c或五-8+ 再把变量1和s分离，即 ds =-gt di +c dt 积分得 =-28+c1+ 其中C,C为任意常数，代入(1.9)式，得G=,C2=0,于是
2 dy = 2x dx （1.7） 其次两边积分得 y = x + c 2 这里c 为任意常数.这显然是此种函数的一般形式，它表示一簇曲线，簇中每一条曲线在点 x 处的切线斜率均为2x ，若将已知条件（1.6）式代入上式，可求c = 2 ，则 2 2 y = x + 就是所求过点( 3.1 )且切线斜率为的曲线方程. 例 3 经典力学模型 设一物体以初速 0 v 垂直上抛，假设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动 的路程 s 与时间t 的函数关系.（假设物体开始上抛时的路程为 0 s ） 建立这类数学模型的主要依据是牛顿(Newton)第二定律，即 F m a v v = 这里m 为直线运动物体的质量，a v 为其加速度， F v 为作用在该物体上的总外力. 依题意知该物体只受重力的作用，因而有 = ′ = ′′ = − )0( s, (0) v )9.1( ( ) )8.1( 0 0 s s ms t mg 这里设该物体的质量为m ，重力加速度为 g ，且垂直向上的方向为正方向.记物体的运动速 度v = s′，所以（1.8）式可写为 g dt dv = − （1.10） 把变量t 和v 分离，可改写成 dv = −gdt 显然，对上式积分一次得 1 v = −gt + c 或 1 gt c dt ds = − + 再把变量t 和 s 分离，即 ds gt dt c dt = − + 1 积分得 1 2 2 2 1 s = − gt + c t + c 其中 1 2 c ,c 为任意常数，代入（1.9）式，得 1 0 2 0 c = v ,c = s ，于是
++ 即为所求的函数关系 最后，看一个较为复杂的经典力学模型—数学摆 例4数学摆模型 数学摆是系于一根长度为/的线上而质最为m的质点M,在垂直于地面的平面上沿着 圆周运动如图(1,1)所示，试确定摆的运动方程。 设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角印的正方向，质点M沿园周的切 向速度可以表为v=1 d 0 作用在质点M上的重力在圆周运动的法向分力为F,其数值为mg cosp,它与摆线 的张力大小相等，方向相反，它不会引起质点M的速度v的数值的改变：作用在质点M上 的重力在圆周运动的切向分力为F其数值为ng sin,它总是向使摆拉回平衡位置A点的 方向运动，即当角p为正时，向减小p的方向运动：当角p为负时，向增大p的方向运动 于是由牛顿第二定律知摆的运动方程是 盘限如p (1.11) de=-号snp (1.12) 若只研究摆的微小振动，即当p比较小时的情形，(1.12)式中我们可以取sinp的近似 值p代替于是，微小振动时摆的运动方程是 +号p=0 (1.13) 3
3 0 0 2 2 1 s = − gt + v t + s 即为所求的函数关系. 最后，看一个较为复杂的经典力学模型——数学摆. 例 4 数学摆模型 数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点 M ，在垂直于地面的平面上沿着 圆周运动.如图（1.1）所示，试确定摆的运动方程. 设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角ϕ 的正方向，质点 M 沿园周的切 向速度v 可以表为 dt d v l ϕ = . 图 (1.1) （1） 仅在重力作用下，且不考虑空气阻力情形 作用在质点 M 上的重力在圆周运动的法向分力为 F1 v ，其数值为 mg cosϕ ，它与摆线 的张力大小相等，方向相反，它不会引起质点 M 的速度v 的数值的改变；作用在质点 M 上 的重力在圆周运动的切向分力为 F2 v 其数值为mg sinϕ ，它总是向使摆拉回平衡位置 A 点的 方向运动，即当角ϕ 为正时，向减小ϕ 的方向运动；当角ϕ 为负时，向增大ϕ 的方向运动. 于是由牛顿第二定律知摆的运动方程是 mg sinϕ dt dv m = − （1.11） 即 ϕ ϕ sin 2 2 l g dt d = − （1.12） 若只研究摆的微小振动，即当ϕ 比较小时的情形，（1.12）式中我们可以取sinϕ 的近似 值ϕ 代替.于是，微小振动时摆的运动方程是 0 2 2 + ϕ = ϕ l g dt d （1.13）
(2)仅在重力作用下，摆在一个粘性的介质中摆动情形 假设介质的阻力系数是山，这样，沿者摆的运动方向就存在一个与速度成正比的阻力 万，则质点在圆周运动的切向分力为万一户，于是摆的运动方程是 m dy =-mg sin o-lty (1.14) +“品+号mp=0a (3)在沿者摆的运动方向恒有一个外力F作用下，摆在一个粘性的介质中摆动情形 同上(2)情形分析，这样，质点在圆周运动的切向分力为F-F+F,于是摆的运动方 程是 即 +片设+号np=高0am 当要确定摆的某一个特定的运动时，应给出摆的初始状态(0)=，p(0)=,其中 。代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度。 以上只举出四例说明常微分方程的建立，其实在社会科学、自然科学和技术科学的其他 领域中，例如经济学、化学、生物学等等，都提出了大量的微分方程现象此外，常微分方 程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，例如在例2中就表明几何学就与常微分方程有 若非常密 切的联系 作为一门门数 出课程，我们不仅要应用数学方法研究微分方程自 身的理论问题，而且还要注意它的实际背景和应用. §12基本概念 1.常微分方程和偏微分方程 所谓微分方程就是 一个或几个联系着自变量、未知函数以及它的导数之间相互关系的等 式在前面四个例子中建立的关系就是微分方程在微分方程中，若未知函数的自变量只有一 个，就称它为常微分方程：若未知函数的自变量有两个或两个以上，则称它为偏微分方程 在上面四个例子中的每个微分方程均含有一个自变量，于是它们都是常微分方程下面给出 一些常微分方程和偏微分方程： 方程 产=p0r+9g0(线性方程）
4 （2） 仅在重力作用下，摆在一个粘性的介质中摆动情形. 假设介质的阻力系数是 µ ，这样，沿着摆的运动方向就存在一个与速度成正比的阻力 F3 v ，则质点在圆周运动的切向分力为 F2 F3 v v − ，于是摆的运动方程是 mg v dt dv m = − sinϕ − µ （1.14） 即 sin 0 2 2 + + ϕ = ϕ µ ϕ l g dt d dt m d （1.15） （3） 在沿着摆的运动方向恒有一个外力 F4 v 作用下，摆在一个粘性的介质中摆动情形. 同上（2）情形分析，这样，质点在圆周运动的切向分力为 F2 F3 F4 v v v − + ，于是摆的运动方 程是 4 mg sin v F dt dv m = − ϕ − µ + （1.16） 即 ( ) 1 sin 2 4 2 F t l ml g dt d dt m d + + ϕ = ϕ µ ϕ （1.17） 当要确定摆的某一个特定的运动时，应给出摆的初始状态 0 0 ϕ )0( = ϕ ,ϕ′ )0( = ω ，其中 ϕ 0 代表摆的初始位置，ω0代表摆的初始角速度. 以上只举出四例说明常微分方程的建立，其实在社会科学、自然科学和技术科学的其他 领域中，例如经济学、化学、生物学等等，都提出了大量的微分方程现象.此外，常微分方 程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，例如在例 2 中就表明几何学就与常微分方程有 着非常密切的联系.因此作为一门数学基础课程，我们不仅要应用数学方法研究微分方程自 身的理论问题，而且还要注意它的实际背景和应用. §1.2 基本概念 1． 常微分方程和偏微分方程 所谓微分方程就是一个或几个联系着自变量、未知函数以及它的导数之间相互关系的等 式.在前面四个例子中建立的关系就是微分方程.在微分方程中，若未知函数的自变量只有一 个，就称它为常微分方程；若未知函数的自变量有两个或两个以上，则称它为偏微分方程. 在上面四个例子中的每个微分方程均含有一个自变量，于是它们都是常微分方程.下面给出 一些常微分方程和偏微分方程： 方程 p(t)x q(t) dt dx = + （线性方程）
-p0x+gx”n≠01（伯努利(Bemoulli)方程 dx +2-D+x=04>0(范德坡(van der Pol方程) 就是常微分方程的例子，这里是x未知函数，1是自变量 方程 染+杂0方园 就是偏微分方程的例子，这里是山未知函数，1，x,少：都是自变量. 我们学习的这门课程是常微分方程今后，为了简单起见就简称它为微分方程或方程 注意在微分方程中，必定含有未知函数导数的项其中出现的未知函数最高阶导数的阶数就 称为方程的阶数例如，上面的线性方程，伯努利方程和黎卡提方程为一阶方程，范德坡方 程是二阶方程 一般n阶常微分方程具有形式 F贵=0 d (1.18) 但在实际处理中，常将其写成显示形式（标准形式） 2.线性和非线性 若方程118)的左端的函数关于本“一衣 ,d"是一次有理整式，则称它为n阶线性 微分方程，它的一般的具体形式 dy+a() +.+a(x)2+axy=）(120) dx" dx 这里aa,因和/是x的已知商数例如，方程会A0+90和 +号印=0分刷是价、三前线作方程 5
5 = p(t)x + q(t)x n ≠ 1,0 dt dx n （伯努利（Bernoulli）方程） ( ) ( ) ( ) 2 p t x q t x r t dt dx = + + （黎卡提（Riccati）方程） ( )1 ,0 0 2 2 2 + µ − + x = µ > dt dx x dt d x （范德坡（van der Pol）方程） 就是常微分方程的例子，这里是 x 未知函数，t 是自变量. 方程 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u （拉普拉斯方程） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ （热传导方程） 就是偏微分方程的例子，这里是u 未知函数，t, x, y,z 都是自变量. 我们学习的这门课程是常微分方程.今后，为了简单起见就简称它为微分方程或方程. 注意在微分方程中，必定含有未知函数导数的项.其中出现的未知函数最高阶导数的阶数就 称为方程的阶数.例如，上面的线性方程，伯努利方程和黎卡提方程为一阶方程，范德坡方 程是二阶方程. 一般n 阶常微分方程具有形式 ( , , , , ) = 0 n n dx d y dx dy F x y L （1.18） 但在实际处理中，常将其写成显示形式（标准形式） ( , , , , ) 1 1 − − = n n n n dx d y dx dy f x y dx d y L （1.19） 这里 ( , , , , ) 1 1 − − n n dx d y dx dy f x y L 是 1 1 , , , − − n n dx d y dx dy x y L 的已知函数， y 是未知函数， x 是自变量. 2． 线性和非线性 若方程（1.18）的左端的函数关于 n n dx d y dx dy y, ,L, 是一次有理整式，则称它为n 阶线性 微分方程，它的一般的具体形式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a x y f x dx dy a x dx d y a x dx d y n n n n n n + + + − + = − − L （1.20） 这 里 ( ), , ( ) 1 a x a x L n 和 f (x) 是 x 的 已 知 函 数 . 例 如 ， 方 程 p(t)x q(t) dt dx = + 和 0 2 2 + ϕ = ϕ l g dt d 分别是一阶、二阶线性方程；