第5章代数结构 定义：非空集合A上定义了若干种运算，集合和 运算所构成的系统称为代数系统（代数结构）， 简称为代数，记作： A,f1,f2,.,fk〉。 例<R,+〉 <R,+,-,*, 2025/5/13 计算机与信息工程学院
2025/5/13 计算机与信息工程学院 1 第5章 代数结构 定义：非空集合A上定义了若干种运算，集合和 运算所构成的系统称为代数系统(代数结构)， 简称为代数,记作： <A， f1,f2, . ,fk> 。 例 <R,+> <R,+,-,*,/>
定义设*是集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y ∈A,都有x*y∈A,则称二元运算*在A上是封闭的。 例1整数集合上的加法、减法、乘法是Z上的二元运算。 例2设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)， 矩阵加法和 12 乘法都是M(R) a21 M,(R)= C22 上的二元运算。 a an2 a n 2025/5/13 计算机与信息工程学院 2
2025/5/13 计算机与信息工程学院 2 定义设*是集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y A,都有x*y A,则称二元运算*在A上是封闭的。 例1 整数集合上的加法、减法、乘法是Z上的二元运算。 例2 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合(n≥2)， 矩阵加法和 乘法都是Mn(R) 上的二元运算。 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n n n n nn a a a a a a M R a a a =
代数运算的运算性质 1.结合律 设*是一个A上的二元代数运算，如果对任意的a,b,c∈A, 都有 (a*b)*c=a*(b*c) 则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。 2.交换律 设*是集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A,都有 a*b=b*a 则称*在A上是可交换的，或称满足交换律。 2025/5/43 计算机与信息工程学院 3
2025/5/13 计算机与信息工程学院 3 代数运算的运算性质 1．结合律 设*是一个A上的二元代数运算，如果对任意的a,b,c∈A， 都有 (a*b)*c＝a*(b*c) 则称*在A上是可结合的，或称满足结合律。 2．交换律 设*是集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A，都有 a*b＝b*a 则称*在A上是可交换的，或称满足交换律
3.分配律 设“*”、“△”是集合A上的两个二元 运算，对Va,b,ceA,若a*(b△c)=(a*b) △(a*c),则称运算“*”对“△”在A上满 足左分配律； 若(b△c)*a=(b*a)△(c*a),则称运 算“*”对“△”在A上满足右分配律。 如果“*”对“△”既满足左分配律又 满足右分配律，则称*”对“△”在A上满足 分配律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院
2025/5/13 计算机与信息工程学院 4 3.分配律 设“*” 、 “△”是集合A上的两个二元 运算，对a,b,cA，若a*(b△c)＝(a*b) △(a*c)，则称运算“*”对“△”在A上满 足左分配律； 若(b△c)*a＝(b*a) △(c*a)，则称运 算“*”对“△”在A上满足右分配律。 如果“*”对“△”既满足左分配律又 满足右分配律，则称*”对“△”在A上满足 分配律
4.幂等律 设*是定义在集合A上的二元运算， 若元素a∈A,满足a*a=a,则称a是A中关于*的 一个等幂元，简称a为等幂元。 若A中的每一个元素都是等幂元，则称*在A中是 幂等的，或称满足幂等律。 5.吸收律 设*和△是集合A上的两个二元运算，若a*(a△b) =a,a△(ab)=a,则称运算“△”与“*”在A 上满足吸收律。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 5
2025/5/13 计算机与信息工程学院 5 4．幂等律 设*是定义在集合A上的二元运算， 若元素a∈A，满足a*a＝a，则称a是A中关于*的 一个等幂元，简称a为等幂元。 若A中的每一个元素都是等幂元，则称*在A中是 幂等的，或称满足幂等律。 5.吸收律 设*和△是集合A上的两个二元运算，若a* (a△b) ＝a,a△(a*b)＝a，则称运算“△”与“*”在A 上满足吸收律