第四章函数 定义 设f是集合X到Y的关系，如果对每个x∈X, 都存在惟一的y∈Y,使得<x,y>∈f,则称关系f 为X到Y的函数。 记为f:X→Y。 当<x,y>∈f时，通常记为y=f(x),这时称x为 函数的自变元，称y为x在f下的函数值。 2025/5/13 计算机与信息工程学院
2025/5/13 计算机与信息工程学院 1 第四章 函数 定义 设f是集合X到Y的关系，如果对每个x∈X， 都存在惟一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称关系f 为X到Y的函数。 记为 f：X→Y。 当<x,y>∈f时，通常记为y=f(x)，这时称x为 函数的自变元，称y为x在f下的函数值
注意 由函数的定义显然有： )domf=X,称为函数f的定义域； 2)ranf Y,称为函数f的值域，ranf也 可记为f(X),并称f(X)为X在f下的象； 3)<x,y>∈f∧<x,z>∈f→y=z; 4)1f=X。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 2
2025/5/13 计算机与信息工程学院 2 注意 由函数的定义显然有： 1) domf=X，称为函数f的定义域； 2) ranf Y，称为函数f的值域，ranf也 可记为f(X)，并称f(X)为X在f下的象； 3) <x,y>∈f∧<x,z>∈f y=z； 4) |f|=|X|
例1 判断下图所示的几个关系是否是函数： B B -B B B 4 B 100a 100a 1O。Oa 100a ○a Ob 20 ○b Ob 2Q 06 20 30 30 30 O 30 40 40 4 40 od Oe 60 h( 6 50 X × 解因f,中X的元素5没出现在序偶的第一元素中， f2中X的元素4出现在两个不同序偶的第一元素中。 2025/5/13 计算机与信息工程学院
2025/5/13 计算机与信息工程学院 3 例1 判断下图所示的几个关系是否是函数： 解 因f1中X的元素5没出现在序偶的第一元素中， f2中X的元素4出现在两个不同序偶的第一元素中。 × × √ √ √ √
函数与关系的差别 从定义知，函数确是一种特殊的关系，它与一般 关系比较具备如下差别： )AXB的任何一个子集，都是A到B的二元关系， 因此，从A到B的不同的关系有2lA×B个；但从 A到B的不同的函数却仅有BIA个。 2)每一个函数的基数都为A个，但关系的基数 却可以从零一直到IAXB。 3)每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相 同的。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 4
2025/5/13 计算机与信息工程学院 4 从定义知，函数确是一种特殊的关系，它与一般 关系比较具备如下差别： 函数与关系的差别 1) A×B的任何一个子集，都是A到B的二元关系， 因此，从A到B的不同的关系有2 |A||B|个；但从 A到B的不同的函数却仅有|B||A|个。 2) 每一个函数的基数都为|A|个，但关系的基数 却可以从零一直到|A|×|B|。 3) 每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相 同的
例2 设A={a,b},B={1,2},AXB={<a,1>,<a,2>, <b,1>,<b,2>}, 此时从A到B的不同关系有24=16个。分别如下： R=Φ；R1={Ka,1>};R2={Ka,2>};R3={Kb,1>}; R4={Kb,2>};R={Ka,1>,<b,1>};R6={Ka,1>,<b,2>}; R2=[Ka,2>,<b,1>};Rg={Ka,2>,<b,2>}; R3={Ka,1>,<a,2>};R10={Kb,1>,<b,2>}; R11={Ka,1>,<a,2>,<b,1>};R12={Ka,1>,<a,2>,<b,2>}; R13=Ka,1>,<b,1>,<b,2>};R14={Ka,2>,<b,1>,<b,2>}; R15={Ka,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 5
2025/5/13 计算机与信息工程学院 5 设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{<a,1>,<a,2>, <b,1>,<b,2>}， 例2 此时从A到B的不同关系有2 4＝16个。分别如下： R0＝Φ；R1＝{<a,1>}；R2＝{<a,2>}；R3＝{<b,1>}； R4＝{<b,2>}；R5＝{<a,1>,<b,1>}；R6＝{<a,1>,<b,2>}； R7＝{<a,2>,<b,1>}；R8＝{<a,2>,<b,2>}； R3＝{<a,1>,<a,2>}；R10＝{<b,1>,<b,2>}； R11＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>}；R12＝{<a,1>,<a,2>,<b,2>}； R13＝{<a,1>,<b,1>,<b,2>}；R14＝{<a,2>,<b,1>,<b,2>}； R15＝{<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}