常微分方程教学大纲 一、说明 本课程及大纲适用于数学与应用数学 数学教育专业 信息与计算科学等专业，总学时为72学 包括讲课及习题课。先修课程为数学分析，高等代数（线性代数）解析 (·)果件市 分析数学研究的基本对像是函数（泛函、算子）和 方程 问题中遇到比校复杂的运动过程时，反 映运动规律的量与量 间的关系式】 和它们的导数 数学的众重 是体现分析 解钟分方程和解的适定 生问题（各种属性），它是分析数学系列课程以及数学 ,在第三学期开设 (二)教学目的 掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法：初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的 数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题)的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识. (三)教学内容 分6部分：(1)微分方程的基本概念和初等积分法；(2)微分方程的基本理论的建立；(3)线性微 分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变 (4) 阶线性方程组的 一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易 法；(5)定性理论和稳定性理论的初步知识. (四)教学时数 72学时 (五)教学方式 讲授法，同时注重常微分方程基本理论和数学物理问题的密切结合 (六)自编教材：肖箭等常微分方程简明教程，（第一版），（安徽大学）北京：科学出版社，2008年， 正文 第一音绪论 [教学目标 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性 ,掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤 .理解积分曲线和方向场的概念 [教学重难点重点是如何将实际问题建立成常微分方程横型，难点是积分曲线和方向场。 [学方法讲授，实践。 教学时间4学时 [教学内容]常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方 程；常微分方程的通解，待解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；常微分方程的具体方法。 [考核目标]常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型 第二章一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解 法 2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解 3理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法
常微分方程教学大纲 一、说明 本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，总学时为72学 时，包括讲课及习题课。先修课程为数学分析，高等代数（线性代数）解析函数。 （一）课程性质 分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题中遇到比较复杂的运动过程时，反 映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分） 间的关系式，即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥梁，而且是体现分析 数学的众多重要思想的窗口。 微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属性），它是分析数学系列课程以及数学 专业与应用数学专业其他后继课程的重要基础。 微分方程是数学与应用数学专业的专业课之一，在第三学期开设。 （二）教学目的 掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的 数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识。 （三）教学内容 分6部分:（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方程的基本理论的建立；（3）线性微 分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变 换；（4）一阶线性方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易 法；（5）定性理论和稳定性理论的初步知识. （四）教学时数 72学时 （五）教学方式 讲授法，同时注重常微分方程基本理论和数学物理问题的密切结合。 (六)自编教材：肖箭等 常微分方程简明教程，(第一版)，（安徽大学）北京：科学出版社，2008年， 正文 第一章绪论 [教学目标] . 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 . 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 . 理解积分曲线和方向场的概念 [教学重难点]重点是如何将实际问题建立成常微分方程模型，难点是积分曲线和方向场。 [教学方法]讲授，实践。 [教学时间] 4学时 [教学内容] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方 程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；常微分方程的具体方法。 [考核目标] 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。 第二章 一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解 法 2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解. 3.理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法
4理解一阶隐式方程的可积类型，堂握隐式方程的参数解法。 教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法难点是积分闲子的求法以及式方程的解法。 [教学方法]讲授，实践。 [教学时数]13学时 [教学内容]变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变 易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 分因子方超资荟立阶程韵爽款变易法、拾当方程与 阶微分方程的初等解法：变量分离法、 第三章一阶微分方程解的存在定理 【教学目标 1理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论 [教学重难点]解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法】讲授，实践。 「教学时间112学时 徵学内解的在一性理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件。解对韧植位 、可微性定理及其证明。 【考核目标】理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题，熟练近似解的 关左计 群对侧值的生续性 及可微性公式，利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理 及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 第四章高阶微分方程 [教学目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌 握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法 2.掌握阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数 法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特 [教学方法打讲授，实践。 [教学时间]18学时 [教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性 瓷姿孩摆的离祭考幕器漆菌赛蔡绕布程夏济穷的腰清：丰齐线性方程的比较系数法与拉 【考核目标理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程，掌握阶非齐次 线性微分方程的常数变易法，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换 法，熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 第五章线性微分方程组
4.理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 难点是积分因子的求法以及式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时数] 13学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变 易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与 积分因子法、一阶隐方程的参数解法；会建立一阶微分方程并能求解。 第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的差 估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的 连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题，熟练近似解的 误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式，利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理 及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 第四章 高阶微分方程 [教学目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌 握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数 法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点] 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特 解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 18学时 [教学内容] 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性 微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉 氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 [考核目标] 理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程，掌握n阶非齐次 线性微分方程的常数变易法，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换 法，熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 第五章 线性微分方程组
[教学目标] 1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结 构， 2.理解阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学重难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法]讲授，实践。 [教学时间]18学时 [教学内容] 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理； 齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法：常系数齐 线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法：求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]线性微分方程组解的性质与结构，能够求解常系数线性微分方程组。 第六章非线性微分方程和稳定性 [教学目标] 1.理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。 2.了解平面初等奇点的分类方法。 3了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。 [教学重难点]奇点的分类与相应零解的稳定性。 [教学方法]讲授，实践。 [教学时间]8学时 [教学内容]解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图：平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零 解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性。 [考核目标]奇点的分类及相应零解的稳定性，李雅谱若夫第二方法判别稳定性
[教学目标] 1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结 构， 2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学重难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 18学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理； 齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐 线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标] 线性微分方程组解的性质与结构，能够求解常系数线性微分方程组。 第六章 非线性微分方程和稳定性 [教学目标] 1.理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。 2.了解平面初等奇点的分类方法。 3了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。 [教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。 [教学方法] 讲授，实践. [教学时间] 8学时 [教学内容] 解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零 解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性。 [考核目标] 奇点的分类及相应零解的稳定性，李雅谱若夫第二方法判别稳定性