第二章初等积分法 本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题众所周知 对于一般的一阶方程是没有初等解法的本章主要目的是介绍一些可以用初等解法进行求解 的方程典型类型以及求解方法和过程，虽然这些方程类型和求解方法很有限，但对于实际问 题中出现的常微分方程却十分有效因此，掌握这些类型方程的解法是十分必要的和有意义 $2.1分离变量法 1.变量分离方程 (一)变量分离的方程 形如 盘=fego)an） 的一阶方程，称为分离变量方程，其中p(x)和qy)分别为x,y的连续函数 例如女=-。一女三少广nx克三心都是变量分盗方程对于此淡方程求解有一极 dx 方法可循.下面给出方程(2.1)的一般解法为了求解，首先假设g(y)≠0，于是方程(2.1)改写 斋aa 这样把变量x,y分离开，就是所谓把变量“分离”了，将上式两边积分即得 0)-fds+e 22 约定，这里亮利达分州理解为6九的鲜个医商数，而北我分常 数c明确写出来，突出常数的重要性，此处c是使(2.2)有意义的任意常数同时关于式子22) 一般地可以作为确定y是x的隐函数的关系式，因此可以利用隐函数求导法则验证关系式 (2.2)是方程(2.1)的通解其次，若存在。，使得g()=0,则直接验证可知y=八。也是方 程(21)的解这时若在通解(22)中存在常数c=c使得它等于解y=y。,则通解(22)泡含了 (2.1)的一切解，否则(2.1)的解除了通解22)外，还必须予以补上解y=% 例1求方程会=2-0+y八的通解
10 第二章 初等积分法 本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题.众所周知， 对于一般的一阶方程是没有初等解法的.本章主要目的是介绍一些可以用初等解法进行求解 的方程典型类型以及求解方法和过程，虽然这些方程类型和求解方法很有限，但对于实际问 题中出现的常微分方程却十分有效.因此，掌握这些类型方程的解法是十分必要的和有意义 的. §2.1 分离变量法 1. 变量分离方程 (一) 变量分离的方程 形如 f (x)g( y) dx dy = (2.1) 的一阶方程，称为分离变量方程，其中 p(x) 和 q( y)分别为 x, y 的连续函数. 例如 y x dx dy = − ， y x dx dy sin 2 = ， x y e dx dy + = 都是变量分离方程.对于此类方程求解有一般 方法可循.下面给出方程(2.1)的一般解法.为了求解，首先假设 g( y) ≠ 0，于是方程(2.1)改写 成 f x dx g y dy ( ) ( ) = 这样把变量 x, y 分离开，就是所谓把变量“分离”了 ，将上式两边积分即得 ∫ ∫ = f x dx + c g y dy ( ) ( ) (2.2) 约定：这里把 ∫ g( y) dy 和 ∫ f (x)dx 分别理解为 ( ) 1 g y ， f (x) 的某一个原函数，而把积分常 数c 明确写出来，突出常数的重要性，此处c 是使(2.2)有意义的任意常数.同时关于式子(2.2), 一般地可以作为确定 y 是 x 的隐函数的关系式，因此可以利用隐函数求导法则验证关系式 (2.2)是方程(2.1)的通解.其次，若存在 0 y ，使得 ( ) 0 g y0 = ，则直接验证可知 0 y = y 也是方 程(2.1)的解.这时若在通解(2.2)中存在常数 0 c = c 使得它等于解 0 y = y ，则通解(2.2)包含了 (2.1)的一切解，否则(2.1)的解除了通解(2.2)外，还必须予以补上解 0 y = y . 例 1 求方程 (2 )(1 1 ) 2 x y dx dy = − + 的通解
解这是分离变量方程类型，首先变量分离，得 1+r少=2x-d 两边积分，得 布-2-h 即得通解 arctany=(x-1)2+c 这里c为任意常数 例？求解方程会=,并家出满足关条作O=引的部 解这是分离变量方程类型，当y≠0时，将变量分离，得 对两边积分，得 ∫g-fcosd 即得通解 -=sinx+0 y 即有 y=-sinx+c 这里c为任意常数.同时不论c怎样取值，但这个通解不包含方程的特解y=0,因而y=0这 个解必须补上也就是说，原方程的一切解应由上述通解和解y=0组成。 其次，为了求给定初值问题的特解，以x=0,y=1代入通解中确定任意常数c,得到c=-1, 因而，所求特解为y=1-5nx 1 注1求上面特解还可以用以下计算： 先分离变量，得 从x。=0到x积分，得
11 解 这是分离变量方程类型，首先变量分离，得 dy x dx y (2 )1 1 1 2 = − + 两边积分，得 ∫ ∫ = − + dy x dx y 2 ( )1 1 1 2 即得通解 y = x − + c 2 arctan ( )1 这里c 为任意常数. 例 2 求解方程 y x dx dy cos 2 = ，并求出满足初始条件 y )0( = 1的解. 解 这是分离变量方程类型，当 y ≠ 0时，将变量分离，得 xdx y dy cos 2 = 对两边积分，得 ∫ ∫ = xdx y dy cos 2 即得通解 x c y = + − sin 1 即有 x c y + = − sin 1 这里c 为任意常数.同时不论c 怎样取值，但这个通解不包含方程的特解 y = 0，因而 y = 0这 个解必须补上.也就是说，原方程的一切解应由上述通解和解 y = 0组成. 其次，为了求给定初值问题的特解，以 x = ,0 y = 1代入通解中确定任意常数c ，得到c = −1， 因而，所求特解为 x y 1 sin 1 − = 注 1 求上面特解还可以用以下计算： 先分离变量，得 xdx y dy cos 2 = 从 0 x0 = 到 x 积分，得
厂g-cosh 广g=cos.xds 所以有-+1=sinx-sin0 y 于是满足0)=1的特解为y=1-9imx 1 例3求出方程 密-w 2.3) 的通解，其中P(x)为x连续函数 解当y≠0时，将变量分离，得到 =px)h (2.4) y 两边积分，即得 Inlyp(x)d+c 其中G为任意常数，进一步有y=士eea临 令G=士en,得到y=G,e恤 这里C2是任意不为零的常数 此外，y=0也是解，这样通解可以统一写成 y=cefnsa (2.5) 这里c为任意常数 注2此方程清足初始条件)=的特解为y=,人达 (二)可化为变量分离方程 1.形如 虫) 2.6) 的方程为齐次方程，其中g()是u的连续函数
12 ∫ ∫ = x x y y x xdx y dy 0 0 cos ( ) 2 即 ∫ ∫ = y x xdx y dy 1 0 2 cos 所以有 1 sin sin 0 1 − + = x − y 于是满足 y )0( = 1的特解为 x y 1 sin 1 − = . 例 3 求出方程 p x y dx dy = ( ) (2.3) 的通解，其中 p(x) 为 x 连续函数 解 当 y ≠ 0时，将变量分离，得到 p x dx y dy = ( ) (2.4) 两边积分，即得 ∫ = + 1 ln | y | p(x)dx c 其中 1 c 为任意常数，进一步有 ∫ = ± p x dx c y e e ( ) 1 令 1 2 c c = ±e ，得到 ∫ = p x dx y c e ( ) 2 , 这里 2 c 是任意不为零的常数. 此外， y = 0也是解，这样通解可以统一写成 ∫ = p x dx y ce ( ) (2.5) 这里c 为任意常数. 注 2 此方程满足初始条件 0 0 y(x ) = y 的特解为 ∫ = x x p x dx y y e 0 ( ) 0 （二）可化为变量分离方程 1. 形如 = x y g dx dy (2.6) 的方程为齐次方程，其中 g(u) 是u 的连续函数
求解齐次方程的关键是对未知函数做适当变量替换，将方程化成变量分离方程.利用适当变 量替换来解微分方程是一种常用的技巧，对于方程2.6)，我们做适当变量替换 u=或y= (2.7) 其中u是新的未知函数u=(x),于是有 少=+ d (2.8) 将2.7)，.(2.8)代入方程(2.6)，即有 +安-8 整理得 这是一个变量分离方程，其通解为 =l1nx|+c(2.9) 然后代回原来的变量，便得(2.6)的通解同时要注意到若存在。使得g(u。)-山。=0，则 y=ux也是(2.6)的解 解这是方程淡令=，将及-贵代入方别 在+u=u+an du=tanu (2.10) ax 当tanu≠0时，分离变量和积分推出 Inlsinu=Inx+c 其中C,为任意常数整理后，得到 sinu=tex (2.11) 令c2=±e9≠0，得到 sinu=cx 注意到方程2.10)还有解tanu=0,即sinu=0 因此若在(2.11)中补上c2=0,则(2.11)表达式包括了sinu=0, 3
13 求解齐次方程的关键是对未知函数做适当变量替换，将方程化成变量分离方程.利用适当变 量替换来解微分方程是一种常用的技巧，对于方程(2.6)，我们做适当变量替换 x y u = 或 y = ux (2.7) 其中u 是新的未知函数u = u(x)，于是有 dx du u x dx dy = + (2.8) 将(2.7),(2.8)代入方程(2.6),即有 g(u) dx du u + x = 整理得 x g u u dx du − = ( ) 这是一个变量分离方程，其通解为 x c g u u du = + − ∫ ln | | ( ) (2.9) 然后代回原来的变量，便得(2.6)的通解.同时要注意到若存在 0 u 使得 ( ) 0 g u0 − u0 = ，则 y u x = 0 也是 (2.6) 的解. 例 4 求解方程 x y x y dx dy = + tan 解 这是齐次方程类型，令 y = xu ，将此及 u dx du x dx dy = + 代入原方程得 u u u dx du x + = + tan 即 x u dx du tan = (2.10) 当 tan u ≠ 0 时，分离变量和积分推出 1 ln |sin u |= ln | x | +c 其中 1 c 为任意常数.整理后，得到 u e x c1 sin = ± (2.11) 令 0 1 2 = ± ≠ c c e ，得到 u c x2 sin = 注意到方程(2.10)还有解 tan u = 0 ,即sin u = 0 因此若在(2.11)中补上c2 = 0 ，则(2.11)表达式包括了sin u = 0
因此原方程的通解为sin之=cx 其中c为任意常数并且此表达式包括一切解 例5求解方程x少+y=y,并求出满足初始条件)心=1的特解 解将方程改写成 密图 这是有次方以=之及安-密代入则上方程可以支为 dx =2-2u (2.12) 当u(u-2)≠0时，分离变量和积分推出 In-2Inlxl+c 其中C为任意常数整理后，得到 u-2=c (2.13) u 这里c2=士e2≠0. 另外还有解=0和4=2，若在(2.13)中补上c2=0,则(2.13)表达式中包括=2，由此 代回原变量u= ，即得原方程的通解 y-2x=cx2y 及解y=0,这里c为任意常数 在适解中，代入0=1，得c=-小，故所求特解为y+子 2x 注3此题中通解不包括所有解。 2.形如 dyax+by+c (2.14) dx ax+bay+c2 的线性分式方程可以利用变量替换化成变量分离方程，其中a,b,C,i=1,2均为常数以下 我们分三种情形对此类型方程进行研究， ()当C,=C2=0时，此时只要把右端分子、分母同除以x,即得
14 因此原方程的通解为 cx x y sin = 其中c 为任意常数.并且此表达式包括一切解. 例 5 求解方程 2 2 xy y dx dy x + = ，并求出满足初始条件 y )1( = 1的特解 解将方程改写成 x y x y dx dy − = 2 这是齐次方程，以 x y u = 及 u dx du x dx dy = + 代入，则上方程可以变为 u u dx du x 2 2 = − (2.12) 当u(u − )2 ≠ 0 时，分离变量和积分推出 1 | ln | | 2 ln | 2 1 x c u u = + − 其中 1 c 为任意常数.整理后，得到 2 2 2 c x u u = − (2.13) 这里 0 2 1 2 = ± ≠ c c e . 另外还有解u = 0和u = 2 ，若在(2.13)中补上c2 = 0 ，则(2.13)表达式中包括u = 2 ，由此 代回原变量 x y u = ，即得原方程的通解 y x cx y 2 − 2 = 及解 y = 0，这里c 为任意常数. 在通解中，代入 y )1( = 1，得c = −1，故所求特解为 2 1 2 x x y + = . 注 3 此题中通解不包括所有解. 2. 形如 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy + + + + = (2.14) 的线性分式方程可以利用变量替换化成变量分离方程，其中 a ,b , c ,i = 2,1 i i i 均为常数.以下 我们分三种情形对此类型方程进行研究. (1) 当c1 = c2 = 0时，此时只要把右端分子、分母同除以 x ，即得