四、(10分)证明：曲面x2=c(c>0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体 积为一定值。 五、(14分)求抛物面：=4+x2+y2的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面 (x-1)2+y2=1内部的部分的体积为最小。 六、(10分)计算1=∫，(e'smny+y)达+(e*cosy-x),其中L为y=-V4-x2由 A(2,0)至B(-2,0)的那一弧段 高等数学（下册）考试试卷（五） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设z-f(x,y)是由方程：-y-x+x=0所确定的二元函数，则 止= 2、唐线十-江0在点(1,1,1）处的切线方程是 2x-3y+5z-4=0 3、设2是由x2+y2+z2≤1，则三重积分川e=_ 4、设f(x)为连续函数，a,m是常数且a>0,将二次积分∫dea-,fx)dk 化为定积分为 5、曲线积分∫MP本+Q与积分路径(4B)无关的充婴条件为 6、设为：=Va2-x2-y2,则(x2+y2+2=_ 7、方程y+3y=e2的通解为 112
112 x y u y x u x + 2 2 2 的值。 四、（１０分）证明：曲面 ( 0) 3 xyz = c c 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体 积为一定值。 五、（１４分）求抛物面 2 2 z = 4 + x + y 的切平面 ，使得 与该抛物面间并介于柱面 ( 1) 1 2 2 x − + y = 内部的部分的体积为最小。 六、（１０分）计算 = + + − L x x I (e sin y y)dx (e cos y x)dy ，其中Ｌ为 2 y = − 4 − x 由 Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。 七、（８分）求解微分方程 2 1 2 y y y − + =0 。 八、（８分）求幂级数 n=1 n n x 的和函数 S(x) 。 高等数学（下册）考试试卷（五） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 z = f (x, y) 是由方程 − − + = 0 z−y−x z y x xe 所确定的二元函数，则 dz = 。 ２、曲线 − + − = + + − = 2 3 5 4 0 3 0 2 2 2 x y z x y z x 在点（１，１，１）处的切线方程是 。 ３、设 是由 1 2 2 2 x + y + z ，则三重积分 e dv z ＝ 。 ４、设 f (x) 为连续函数， a,m 是常数且 a 0 ，将二次积分 − a y m a x dy e f x dx 0 0 ( ) ( ) 化为定积分为 。 ５、曲线积分 + L( AB) Pdx Qdy 与积分路径 L(AB) 无关的充要条件为 。 ６、设 为 2 2 2 z = a − x − y ，则 (x + y + z )ds = 2 2 2 。 ７、方程 x y y e 2 + 3 = 的通解为
8、设级数空0，收敛立6，发敢，则级数三口，+6，)是 二、选择题（每小题2分，共计16分） x'y 1、设fxy)={x2+y2 x,)≠0,0)，在点(0,0)处， 0. (x,y)=(0,0) 下列结论( )成立。 (A)有极限，且极限不为0： (B)不连续： (c)f0,0)=f(0,0)=0: (D)可微。 2设函数：=/化》有2，且/x0)=1,∫x0=x,则飞 （A)1-xy+y2:(B)1+xy+y2:(C)1-x2y+y2:(D)1+x2y+y2。 3、设D:1≤x2+y2≤4，∫在D上连续，则[f(Wx2+y2)do在极坐标系中等于 (A)2πfr: (B)2πfv2: (c)2xr2frtr-∫r2fr)d]:(D)2fr2tr-∫fr2d]. 4、设2是由x=0,y=0,:=0及x+2y+:=1所围成，则三重积分 ∬xy=( (A)。rxy:(B)d时-x,yt: (c）f6。xxyt:(D)∫a时xyt. 5、设是由x=0,y=0,:=0,x=1y=1,:=1所围立体表面的外侧，则曲面积分 日xt+dk+dk=(） (A)0:(B)1:(C)3:(D)2。 113
113 ８、设级数 n=1 n a 收敛， n=1 n b 发散，则级数 = + 1 ( ) n an bn 必是 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） １、设 = = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 2 x y x y x y x y f x y ，在点（０，０）处， 下列结论（ ）成立。 （Ａ）有极限，且极限不为 0； （Ｂ）不连续； （Ｃ） f x (0,0) = f y (0,0) = 0 ； （Ｄ）可微。 ２、设函数 z = f (x, y) 有 2 2 2 = y f ，且 f (x,0) = 1，f x x y ( ,0) = ，则 f (x, y) =（ ） （Ａ） 2 1− xy + y ； （Ｂ） 2 1+ xy + y ； （Ｃ） 2 2 1− x y + y ； （Ｄ） 2 2 1+ x y + y 。 ３、设Ｄ： 1 4 2 2 x + y ， f 在 D 上连续，则 + D f ( x y )d 2 2 在极坐标系中等于 （ ） （Ａ） rf r dr 2 1 2 ( ) ； （Ｂ） rf r dr 2 1 2 2 ( ) ； （Ｃ） − 1 0 2 2 0 2 2[ r f (r)dr r f (r)dr] ； （Ｄ） − 1 0 2 2 0 2 2[ rf (r )dr rf (r )dr]。 ４、设 是 由 x = 0, y = 0,z = 0 及 x + 2y + z = 1 所 围 成 ， 则 三 重 积 分 xf(x, y,z)dv = ( ) （Ａ） − − − x y y dx dz xf x y z dy 1 2 0 2 1 0 1 0 ( , , ) ；（Ｂ） −x− y dx dy xf x y z dz 1 2 0 1 0 1 0 ( , , ) ； （Ｃ） − − − x y x dx dy xf x y z dz 1 2 0 2 1 0 1 0 ( , , ) ；（Ｄ） 1 0 1 0 1 0 dx dy xf (x, y,z)dz 。 ５、设 是由 x = 0, y = 0,z = 0, x = 1y = 1,z = 1 所围立体表面的外侧，则曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy = ( ) （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2
6、以下四结论正确的是( 》.现+y+h=a:(B）++:k=4a C月+y广+：=：（D以上三结论均， 7、设g(x)具有一阶连续导数，g(0)=1。并设曲线积分∫，g(x)tan xdx-gx)d 与积分路径无关，则小台g(anx-gx冰=(） .空公等于6 (A)23:(B)1V3: (C)1:(D)32 三、求解下列问题（共计15分） 1、(8分》设=*袋容是 2、(7分)设u=f三台，了具有连续偏导数，求d血 四、求解下列问恩（共计15分） 1s1-小8如，车0产 2、(7分)计算1=(x+y+z+),其中2：x2+y2+2≤R。 五、(15分)确定常数2，使得在右半平面x>0上， ∫2xx+y产本-x2(x+y2)2与积分路径无关，并求其一个原函数(x,)。 六(8分》将藏世舒展开为的级数， 七、(7分)求解方程y-6y+9y=0。 114
114 ６、以下四结论正确的是（ ） （Ａ） + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 5 3 4 ( ) x y z a x y z dv a ；（Ｂ） ( ) 4 ; 2 2 2 4 2 2 2 2 x y z ds a x y z a + + = + + = （Ｃ） + + = + + = 2 2 2 2外侧 2 2 2 4 ( ) 4 x y z a x y z dxdy a ；（Ｄ） 以上三结论均错误。 ７、设 g(x) 具有一阶连续导数， g(0) = 1 。并设曲线积分 − L yg(x)tan xdx g(x)dy 与积分路径无关，则 − = ) 4 , 4 ( (0,0) ( )tan ( ) ( ) yg x xdx g x dy （Ａ） 2 2 ； （Ｂ） 2 2 − ； （Ｃ） 8 2 ； （Ｄ） 8 2 − 。 ８、级数 = − − − 1 1 1 2 ( 1) n n n 的和等于（ ） （Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。 三、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）设 , z y u = x 求 y u x u , z u 。 ２、（７分）设 ( , ) z y y x u = f ， f 具有连续偏导数，求 du 。 四、求解下列问题（共计１５分） １、（８分）计算 + + = D d f x f y af x bf y I ( ) ( ) ( ) ( ) ，其中 2 2 2 D : x + y R 。 ２、（７分）计算 I = (x + y + z +1)dv ，其中 2 2 2 2 : x + y + z R 。 五、（１５分）确定常数 ，使得在右半平面 x 0 上， + − + L x y x y dx x x y dy 2 ( ) ( ) 4 2 2 4 2 与积分路径无关，并求其一个原函数 u(x, y) 。 六、（８分）将函数 3 (1 ) 1 ( ) x x f x − + = 展开为 x 的幂级数。 七、（７分）求解方程 y − 6y + 9y = 0