《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第十讲 重积分

第九章重积分 一、学习目的与要求 1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。 3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。 4、能用重积分来表达 些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量 二、学习重点 二重积分和三重积分的计算法 三、内容提要 1、重积分的定义 广=巴立f飞化，n4a,（与D的划分及(5，m)取法无关.其中D为平面 有界闭区域，(5，)∈△o,0=1,2,.,n),元=max{Ac,的直径} ∬=f,5A(与的划分及，5分取法无关，其中 为空间有界闭区域，(5，n,)eA,=1,2.,m),元=x{AV的直径} 2、重积分的几何意义 当f(x,y)≥0时，「f(x,y)dG表示以区域D为底，以曲面x)为顶的曲项柱体 体积。当f化=1时，do表示平面区域D的面积。当fxy)=1时，∬dW 表示空间区域Q的体积。 3、重积分的可积性 若f(x,y)(或f(xy,)在有界闭区域D(或2)上分块连续，则f(x,y)(或 fx,y,))在D(或2)上可积。 4、重积分的性质 二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都 是可积的。 (I)线性性质 kfx,y)+kgx,yo=k川fx,ydo+k∬g(x,y)do,其中k,e为 常数 之

21 第九章 重积分 一、学习目的与要求 1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。 3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。 4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量 等）。 二、学习重点 二重积分和三重积分的计算法 三、内容提要 1、重积分的定义  = → =  D n i i i i f x y d f 1 0 ( , )  lim ( , )   （与 D 的划分及 ( , )  i i 取法无关），其中 D 为平面 有界闭区域， ( , ) ( 1,2, , ), max{ } 1 i的直径 i n  i i  i i = n  =     。    = → =  n i i i i Vi f x y z dV f 1 0 ( , , ) lim ( , , )  （与  的划分及 ( , , )  i i  i 取法无关，其中  为空间有界闭区域， ( , , ) ( 1,2, , ), max{ } 1 i的直径 i n i i i  Vi i = n = V        。 2、重积分的几何意义 当 f (x, y)  0 时，  D f (x, y)d 表示以区域 D 为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶柱体 体积。当 f (x, y)  1 时，  D d 表示平面区域 D 的面积。当 f (x, y,z)  1 时，   dV 表示空间区域  的体积。 3、重积分的可积性 若 f (x, y) （或 f (x, y,z) ）在有界闭区域 D（或  ）上分块连续，则 f (x, y) （或 f (x, y,z) ）在 D（或  ）上可积。 4、重积分的性质 二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都 是可积的。 （Ⅰ）线性性质    + = + D D D [k1 f (x, y) k2 g(x, y)]d k1 f (x, y)d k2 g(x, y)d ，其中 k1,k2 为 常数

(Ⅱ)区域可加性 ∬f,ydo=∬f(xydo+j∬fx,y)dG,其中D=DUD,且D,D2除 边界外无其它公共点。 ()比较性质 若fxy)≤gx,y,(x,y)eD,则j∬fx,y)do≤川gx,)do 特别有 xado≤∬to (V)估值定理 设M=max{fx,y)x,y)eD,m=mn{fx,yx,y)eD,则 mD≤厂f(x,y)do≤MD,其中lD为有界闭区域D的面积。 (V)中值定理：若x在D上连续，则∬fx,y)do=f5,)D,其中 (5,)eD 5、重积分的计算 重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 (I)二重积分计算 (1)在直角坐标系下，面积元do=dk山 若D:asxs6 sys国驱线，则∬aa=amx炒 若D:sysd {0)≤x≤50)驱线.则x0do=f,h (2)在极坐标系(x=rcos8,y=rsim)下，面积元素do=dd0 若D:asosB. FG(0)srsn(o,则∬xdo-ja0 (rcos0,r.sn8h 特别，若极点0在D的内部，则0≤日≤2π，5()=0：若极点0在D的边界上， 则5(0)=0

22 （Ⅱ）区域可加性    = + D D D f x y d f x y d f x y d 1 2 ( , )  ( , )  ( , )  ，其中 , D = D1 D2 且 D1，D2 除 边界外无其它公共点。 （Ⅲ）比较性质 若 f (x, y)  g(x, y),(x, y)  D ，则    D D f (x, y)d g(x, y)d 特别有    D D f (x, y)d f (x, y) d （Ⅳ）估值定理 设 M = max{ f (x, y)(x, y)D},m = min{ f (x, y)(x, y)D} ，则    D m D f (x, y)d M D ，其中 D 为有界闭区域 D 的面积。 （Ⅴ）中值定理：若 f(x,y)在 D 上连续，则 f x y d f D D =   ( , )  (,) ，其中 (,)  D 5、重积分的计算 重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 （Ⅰ）二重积分计算 （1）在直角坐标系下，面积元 d = dxdy 若        ( ) ( ) : 1 2 y x y y x a x b D （x-型区域），则    = D b a y x y x f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , )  ( , ) 若        ( ) ( ) : 1 2 x y x x y c y d D （y-型区域），则    = D d c x y x y f x y d dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , )  ( , ) （2）在极坐标系 (x = r cos, y = rsin  ) 下，面积元素 d = rdrd 若        ( ) ( ), , : 1  2    r r r a D 则    = D r r f x y d d f r r rdr ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( cos , sin )         特别，若极点 O 在 D 的内部，则 0   2,r1 () = 0 ；若极点 O 在 D 的边界上， 则 r1 () = 0

若D:a≤rs6 (r(da=cod (Ⅱ)三重积分的计算 (1)在直角坐标系下，体积元d=d本d止 若：川eD 压5：s,k则∬fw=∬fyt 此方法俗称“先一后二”法，区域D为2在xOy面的投影区域。 若n:D.则f,=∫t/x,y 此法俗称“先二后一”法，区域D,为平面一c1z<C)减2所得截面在xOy平面的投 影区域。 (2)在柱坐标系(x=rcos0,y=rsin0,:=)下，体积元dW=dr止 z,(r.0)≤z≤z、(r.8). 若2：r(0sr≤5(0)， 则 0.≤0≤0、 War-0cwarsaat [≤z≤c2, 若2：{a(e)s0sfe),则 5(0,)≤r≤5(0， ∬fx:dr=2tgd0aefucos0.rsaa.t (3)在球坐标系(x=psin cos0,y=psin osin0,:=pcos p)下，体积 dv =p'sin odelodp 「p(8,p)spsp2(8,p) 若2：{o,(0)≤o≤p,(0,则f(x,y,z)dW 8ss82

23 若        ( ) ( ) , : 1 2 r r a r b D    ，则    = b a r r D f x y d rdr f r  r  d   ( , ) ( cos , sin ) ( ) ( ) 1 2 （Ⅱ）三重积分的计算 （1）在直角坐标系下，体积元 dv = dxdydz 若        ( , ) ( , ), ( , ) , : 1 2 z x y z z x y x y D 则     = D z x y z x y f x y z dV dxdy f x y z dz ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , ) 此方法俗称“先一后二”法，区域 D 为  在 xOy 面的投影区域。 若        , ( , ) , : 1 2 c z c x y D z 则     = Dz c c f (x, y,z)dV dz f (x, y,z)dxdy 2 1 此法俗称“先二后一”法，区域 Dz为平面 z=z(c1<z<c2)截  所得截面在 xOy 平面的投 影区域。 （2）在柱坐标系 (x = r cos, y = rsin ,z = z) 下，体积元 dV = rddrdz 若             , ( ) ( ), ( , ) ( , ), : 1 2 1 2 1 2        r r r z r z z r 则      = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( cos , sin , )          r r z r z r f x y z dV d dr f r r z rdz 若             ( , ) ( , ), ( ) ( ), , : 1 2 1 2 r z r r z a z z c z c     则      = 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( cos , sin , ) c c z z r z r z f x y z dV dz d f r r z rdr        （ 3 ）在球坐标系 (x =  sin  cos, y =  sin  sin ,z =  cos) 下，体积 dV  sin ddd 2 = 若             , ( ) ( ), ( , ) ( , ), : 1 2 1 2 1 2                则   f (x, y,z)dV

-∫d0fdgffpsnpcos0,psnpsm0.pcosp)p2snpp 6、重积分的应用 (I)平面图形的面积设D为平面区域，其面积为A一儿dG (Ⅱ)空间立体的体积设2为空间区域，其体积为V=川dW ()曲面的面积设曲面方程为：=f(x,y,(化，)∈D,函数x)在D上有连续的 偏导数，则该曲面面积为：S=小V1+f?+f;少 ()物体的质量 ()平面薄片的质量：设薄片占有平面区域D,其面密度为p=p(x,y),则其质 量为：M=∬pxdo (2)空间立体的质量：设物体占有空间区域2，其体密度为p=p(x,上，：)，则其 质量为m=∬pxdW (V)物体的质心 (1)平面薄片的质心：设薄片占有平面区域D,其面密度为P-p(x,),则薄片 的重心坐标G列为：一品pxa.j=ax0o 其中m为薄片的质量m=「p(x,y)do (2)空间物体的质心：设物体占有空间区域Q,其体密度为P=p(x,八，)，则物体 的质心坐标(xy,)为： =oh,=∬mM=∬x:h 其中M=p(x,y)w ()物体的转动惯量： (1)平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域D,其面密度为p=px,y),则薄

24 =    2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 ( sin cos , sin sin , cos ) sin                        r r d d f d 6、重积分的应用 （Ⅰ）平面图形的面积 设 D 为平面区域，其面积为  = D A d （Ⅱ）空间立体的体积 设  为空间区域，其体积为   V = dV （Ⅲ）曲面的面积 设曲面方程为 z = f (x, y),(x, y)  D ，函数 f(x,y)在 D 上有连续的 偏导数，则该曲面面积为: S f f dxdy D =  + x + y 2 2 1 (IV) 物体的质量 ( 1) 平面薄片的质量：设薄片占有平面区域 D,其面密度为  = (x, y) ，则其质 量为：  = D M (x, y)d （2）空间立体的质量：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则其 质量为   m = (x, y,z)dV （Ⅴ）物体的质心 （1） 平面薄片的质心：设薄片占有平面区域 D，其面密度为  = (x, y) ，则薄片 的重心坐标 (x, y) 为：  = D x x y d m x ( , )  1 ，  = D y x y d m y ( , )  1 ， 其中 m 为薄片的质量  = D m (x, y)d （2） 空间物体的质心：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则物体 的质心坐标 (x, y,z) 为：       = = = x z x y z dv M y x y z dv z M x x y z dv y M x ( , , ) 1 ( , , ) , 1 ( , , ) , 1    其中   M = (x, y,z)dv （Ⅵ）物体的转动惯量： （1）平面薄片的转动惯量：设平面薄片占有区域 D，其面密度为  = (x, y) ，则薄

片对x轴和y轴的转动惯量1、，分别为： L,=J∬ypx,y)do,L,=j∬x2px,ydo (2)物体的转动惯量：设物体占有空间区域Q,其体密度为p=P(x,八，)，则物体 对x:轴的转动惯量、，和L分别为： =(+)p(x.y.=)dv.1=(x+)x.y.dv. .=j∬ex2+y)p(x.y.dv (Ⅶ)引力 设立体2的密度为p=px,y),2外一点(x0,o)处有质量为m的 质点，则立体2对质点P,的引力为F=Fi+F+Fk,其中 E=mf.,R='产ax E=km∬号px,y,其中r=Gx-广+0-%广+-，A 为引力常数。 四、思考题 1、设函数f(x,y)在区域D上连续，则符号f(x,y)少表示什么？这个量与什么有 关？与什么无关？其几何意义是什么？ 2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极 坐标计算比较方便？ 3、试问下列等式是否成立，为什么？ (1)f「xky=4「x)kdcg其中Dx+y2≤4，D1:r2+y2≤4及x≥0y≥0 2)x+p达=∬x其中D:a)'y≤da>0 G)∬fxk=4d0 f(rcose0,rsn)i,其中D.1≤x4r (4)∬xdw=4∬xd,∬dw=4∬dw,其中：x+y2+≤R,20, 21:x2+y2+z2≤R2及x≥20y≥0.：≥0

25 片对 x 轴和 y 轴的转动惯量 Ix、Iy分别为：   = = D y D I x y (x, y)d,I x (x, y)d 2 2 （2）物体的转动惯量：设物体占有空间区域  ，其体密度为  = (x, y,z) ，则物体 对 x,y,z 轴的转动惯量 Ix、Iy 和 Iz 分别为：   = ( + ) ( , , ) , 2 2 I x y z  x y z dV   = ( + ) ( , , ) , 2 2 I y x z  x y z dV   I z = (x + y ) (x, y,z)dV 2 2  （Ⅶ）引力 设立体  的密度为  = (x, y,z) ， 外一点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 处有质量为 m 的一 质点，则立体  对质点 P0 的引力为 F=Fxi+Fyj+Fzk，其中   − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r x x Fx km    − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r y y Fy km    − = ( , , ) , 3 0 x y z dV r z z Fz km  其中 r (x x ) (y y ) (z z ) ,k 2 0 2 0 2 = − 0 + − + − 为引力常数。 四、思考题 1、设函数 f (x, y) 在区域 D 上连续，则符号  D f (x, y)dxdy 表示什么？这个量与什么有 关？与什么无关？其几何意义是什么？ 2、采用极坐标计算二重积分时，其面积元素的表达式是什么？一般在什么情况下采用极 坐标计算比较方便？ 3、试问下列等式是否成立，为什么？ （1）   = D D xydxdy xydxdxy 1 4 , 其中 D:x2+y2≤4,D1:x2+y2≤4,及 x≥0,y≥0 （2）   + = D D (x y)dxdy xdxdy, 其中 D:（x-a）2+y2≤a 2 (a>0) （3）    = D f x y dxdy d f r r rdr 2 1 2 0 ( , ) 4  ( cos, sin  )  ，其中 D:1≤:x2+y2≤4 （4）         = = 1 1 x d 4 x d, zd 4 zd ，其中 : , 0 2 2 2 2  x + y + z  R z  ，  x + y + z  R 2 2 2 1 : 2 及 x≥0,y≥0,z≥0