第十一章无穷级数 一、学习目的与要求 1、加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 2、熟悉几何级数和p级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 4、掌握交错级数的莱布尼兹定理：了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 5、知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念， 6、熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 7、知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 8、知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握e,sinx,cosx,n(1+x)和(1+x)的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一 些简单函数展为幂级数。 1山、知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在[1，]和[π，元小上的函数展 开为傅立叶级数。能将定义在0，上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。 3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念：设有无穷数列包，》则称三0，为无穷级数。简称级数。称S,一之0，为 部分和。若mS。=S存在且有限，则称级数收敛，并称S为级数的和，若mSn不存 在或为士o,则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1)若级数2a,立，收敛，则对任意常数a,B,立(m,+0,)=a2a,+P吃6.· n=l (2)改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性， (3)收敛级数可任意添加括号，且和不变。 (4)收敛级数的通项an→0(n→∞)。数项级数区分为正项级数(an≥0)，交错级数 口。=(1一b,b,>0)及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。 65
65 第十一章 无穷级数 一、学习目的与要求 1、 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 2、 熟悉几何级数和 p 级数的收敛性。 3、 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 4、 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 5、 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。 6、 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 7、 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 8、 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握 e ,sin x,cos x,ln(1 x) x + 和 ( ) n 1+ x 的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一 些简单函数展为幂级数。 11、 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在 − l,l 和 −, 上的函数展 开为傅立叶级数。能将定义在 0,l 上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。 3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念:设有无穷数列 n ，则称 n＝1 n a 为无穷级数，简称级数。称 = n Sn ak k＝1 为 部分和。若 Sn S n = → lim 存在且有限，则称级数收敛，并称 S 为级数的和，若 n n S → lim 不存 在或为 ，则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1）若级数 n＝1 n a ， n＝1 n b 收敛，则对任意常数 , ，( ) = = + = + n 1 1 n 1 n n an bn an b ＝ 。 （2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。 （3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。 （4）收敛级数的通项 a → (n → ) n 0 。数项级数区分为正项级数 (a 0) n ，交错级数 ( ( 1) , 0) 1 = − − n n n an b b 及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同
3、正项级数的判别法 除开因Ima。≠0而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较荆别法：若n充分大时有0≤a,≤6，则当∑6.收敛时，→∑a,也收敛：当∑a, 发散时，→∑6，也发散 比较判别法的极限形式：若a,>0,6.>0,m分=则当0<1<∞时，∑a,与∑6.有 相同的敛散性：当1=0时，由6收敛。→a,也收敛：当1=+0时， 由6发散，→0，也发散。 收敛，也可能发散。 根值判别法：若ma=P,则当p<1时级数收敛，P>1时级数发散，P=1时级数 可能收敛也可能发散。 积分判别法：设fx)在，+∞)上是非负且单调减，an=f),n=l,2,则级数∑a收 敛的充要条件是∫f女收敛 常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）：∑ag”,当4<1时收敛：A之1时发散。 级数。当p>1级数收敛。当Ps1时级数发数。 例如：了1 名nhP当p>1时收敛：当p≤1时发散
66 3、正项级数的判别法 除开因 lim 0 → n n a 而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较判别法：若 n 充分大时有 0 an bn ，则当 n=1 n b 收敛时， = n 1 an 也收敛；当 n＝1 n a 发散时， = n 1 bn 也发散。 比较判别法的极限形式：若 0, 0,lim l, b a a b n n n n n = → 则当 0 l 时， n＝1 n a 与 n＝1 n b 有 相同的敛散性；当 l ＝0 时，由 n＝1 n b 收敛， = n 1 an 也收敛；当 l =+ 时， 由 n＝1 n b 发散， = n 1 an 也发散。 比值判别法：若 l a a n n n = + → 1 lim ，则当 l 1 时级数收敛， l 1 时级数发散,l =1 时级数可能 收敛，也可能发散。 根值判别法：若 = → n n n lim a ，则当 1 时级数收敛， 1 时级数发散， = 1 时级数 可能收敛也可能发散。 积分判别法：设 f (x) 在 1,+ ) 上是非负且单调减， a f (x) n = ，n=1,2,.,则级数 n＝1 n a 收 敛的充要条件是 f (x)dx 1 收敛。 常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）： n＝1 n aq ，当 q 1 时收敛； q 1 时发散。 P-级数： n 1 1 ＝ p n ，当 p 1 级数收敛；当 p 1 时级数发散。 例如： n 1 ln 1 ＝ n n p ，当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散
4、交铺级数的莱布尼兹判别法：若a,之a1>0,1,2.,m0,=0,则交错级数 立a收敛，且和S≤a,余项l=∑a≤a 5、任意项级数的收敛：任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级 数∑n,收敛。称级数∑a,绝对收敛：若n发散，面工a,收敛，称∑a,条件 收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。） 6、国黄项数收敛：问1,2是定义在上的函数。，则将空)为局数项级数。 若给定。∈X,数项级数∑山，(x)收敛，称x。为函数项级数的收敛点。所有收敛 点的集合E称为收敛域。对x∈E,级数的和记为S(x),称函数S(x,x∈E为级 数的和函数。 7、幂级数的概念：形如∑a(c-xo）的级数称为(-x)的幂级数，其中a(n=l2)为常 数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以x,为中心，以R为半径的区间，收敛 半径R由公式R=回a a 或R=inm 1 给出，当R=0时幂级数仅在x=x。点 收敛：当0<R<0时，幂级数的收敛区间为：一Rx,+R),端点x,=±R也可 能是收敛点：当R=士0时，幂级数在（仁0，+∞）上都收敛。 8、幂级数的性质(1)幂级数在收敛区间(x。一R,x。+R)内绝对收敛，在 （仁o,xo一R人U(,+R+∞)内发散，在端点，±R处可能收敛，也可能发散。 (2)幂级数的和函数S(x)在收敛域上连续。 (3)幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不 变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次 6
67 4、交错级数的莱布尼兹判别法:若 an an+1 0，n=1,2,.， lim = 0 → n n a ，则交错级数 ( ) − − n 1 1 1 ＝ n n a 收敛，且和 S a1 ，余项 ( ) 1 1 1 1 + = + − = − n k n k k rn a a 。 5、任意项级数的收敛:任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级 数 n＝1 an 收敛，称级数 n＝1 n a 绝对收敛；若 n＝1 an 发散，而 n＝1 n a 收敛，称 n＝1 n a 条件 收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。） 6、函数项级数收敛: u (x) n （n=1,2,.）都是定义在 X 上的函数，则称 ( ) n=1 n u x 为函数项级数。 若给定 x0 X ，数项级数 ( ) =1 0 n n u x 收敛，称 0 x 为函数项级数的收敛点。所有收敛 点的集合 E 称为收敛域。对 xE ，级数的和记为 S(x) ，称函数 S(x)， xE 为级 数的和函数。 7、幂级数的概念:形如 ( ) n n n a x x = − 1 0 的级数称为 ( ) 0 x − x 的幂级数，其中 a (n =1,2,.) n 为常 数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以 0 x 为中心，以 R 为半径的区间，收敛 半径 R 由公式 1 lim + → = n n n a a R 或 n n n a R 1 lim → = 给出，当 R＝0 时幂级数仅在 0 x = x 点 收敛；当 0 R 时，幂级数的收敛区间为 (x − R x + R) 0 0 , ，端点 x0 = R 也可 能是收敛点；当 R = 时，幂级数在 (− ,+) 上都收敛。 8、幂级数的性质 （1）幂级数在收敛区间 (x − R x + R) 0 0 , 内绝对收敛，在 (− , − )( + ,+) x0 R x0 R 内发散，在端点 x0 R 处可能收敛，也可能发散。 （2）幂级数的和函数 S(x) 在收敛域上连续。 （3）幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不 变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次
若三a,《-与6(-)的效做半径分别为R,令R=m视尾 则当-xl<R时，∑a,-x±∑b.(-x）=a,±b,x-x广 a6-)-26.-x)-C.6k-r其中，C.=ah.+ab++a,h (5)若f(x)在x。点可以展成幂级数，则必为在x。点处的泰勒级数，即若 )-20,-,k-小<R,则0，-，在=0点处的奉级数 又称麦克劳林级数。它表示为户回，. 、五个要的级数展开式：De-宫语(<x<四 (2)smr=2-1 (2n-11 (人0<x<+o) ws空cr6动 （人o<x<t回) a+r-21a-a-a+,1<r< 特别地 gr10点空1s到 10、函数展成幂级数 直装法先求出口，=)，得平级数Σ-广，并末此级数的收敛说
68 （4）若 ( ) n n n a x x = − 0 0 与 ( ) n n n b x x = − 0 0 的收敛半径分别为 1 2 R ,R ，令 R = min R1 ,R2 ， 则当 x − x0 R 时， ( ) ( ) ( )( ) n n n n n n n n n n a x x b x x a b x x0 0 0 0 0 − 0 − = − = = = ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n a x x b x x C x x0 0 0 0 0 − 0 − = − = = = 其中， Cn = a0bn + a1bn−1 ++ anb0 （5）若 f (x) 在 0 x 点可以展成幂级数，则必为在 0 x 点处的泰勒级数，即若 ( ) = = − 0 0 ( ) n n n f x a x x ， x − x0 R ，则 ( ) ( ) ! 0 n f x a n n = ，在 x0 = 0 点处的泰勒级数 又称麦克劳林级数。它表示为 ( ) ( ) =0 ! 0 n n n x n f 。 9、五个重要的幂级数展开式:（1） = = 0 ! n x n n x e (− x +) （2） = − − − = − 0 2 1 1 (2 1)! sin ( 1) n n n n x x (− x +) （3） = = − 0 2 (2 )! cos ( 1) n n n n x x (− x +) （4） + = − = − + − = 2 3 ln(1 ) ( 1) 2 3 1 x x x n x x n n n (−1 x 1) （5） n n x n n x = − − + + = 0 ! ( 1) ( 1) (1 ) (−1 x 1) 特别地 = = − + 0 ( 1) 1 1 n n n x x (−1 x 1) = = 1− 0 1 n n x x (−1 x 1) 10、函数展成幂级数 直接法 先求出 ( ) ( ) ! 0 n f x a n n = ，得到幂级数 ( ) = − 0 0 n n x x ，并求此级数的收敛域
再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。 间接法利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算 以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。 1山、和函数的求法 (1)根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 (2)通衬和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。 (3) 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作 相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。 12、傅立叶级数：设f(x)是以1为周期的周期函数，在【1，上可积，则f(x)的傅立叶系数 为：a,=/cos匹a,n0,12-6,=sn"k, n=l,2,. 由以上a,6,为系数的三角级数号+2(，0s受x+6,m受 当x是以2a为周期的奇函数时，a,=0,0,1.2,6=了s二xd， n=l,2,. 此时/)~三6，血"四，称之为正弦级数。 1 当x是以2r为周期的偶函数时，6=0，l,2,a,=号引)s二x在， n=0,1,2,. 此时小受+0,0s”严，称之为余弦级数。 13、傅立叶级数定理：若fx)在[1，上满足狄利克雷条件：①f)只有有限个极值点， ②x)除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则fx)的傅立叶级数在[1，小上 收敛，且有 69
69 再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。 间接法 利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算 以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。 11、和函数的求法 （1） 根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 （2） 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。 （3） 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作 相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。 12、傅立叶级数：设 f (x) 是以 l 为周期的周期函数，在 − l,l 上可积，则 f (x) 的傅立叶系数 为： ( ) − = l l n dx l n x f x l a cos 1 ， n=0,1,2,. ( ) − = l l n dx l n x f x l b sin 1 ， n=1,2,. 由以上 n a ， n b 为系数的三角级数 = + + 1 0 cos sin 2 n n n x l n x b l n a a 称为 f (x) 的傅立叶级数，记做 ( ) = + + 1 0 cos sin 2 ~ n n n x l n x b l n a a f x 当 x 是以 2 为周期的奇函数时， an = 0，n=0,1,2,.， = l n xdx l n f x l b 0 ( )sin 2 ， n=1,2,. 此时 ( ) =0 ~ sin n n l n x f x b ，称之为正弦级数。 当 x 是以 2 为周期的偶函数时， = 0 n b ，n=1,2,.， ( ) = l n xdx l n f x l a 0 cos 2 ， n=0,1,2,. 此时 ( ) = + 0 0 cos 2 ~ n n l n x a a f x ，称之为余弦级数。 13、傅立叶级数定理：若 f (x) 在 − l,l 上满足狄利克雷条件：① f (x) 只有有限个极值点， ② f (x) 除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则 f (x) 的傅立叶级数在 − l,l 上 收敛，且有