《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第九讲 多元函数微分法

第八章多元函数微分法 一、学习目的与要求 1、加深理解多元函数、偏导数、全微分的概念，知道二元函数的极限，连续性概念。 2、掌握复合函数求一、二阶偏导数的方法。 3、掌握由方程及方程组所确定的隐函数求偏导数的方法。 4、会求空间曲线的切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程。 5、了解方向导数与梯度的概念，并掌握它们的计算方法。 6、熟练掌握求极值的方法，其中包括：建立目标函数（这是难点），并初步学会简化目标函 数，求出驻点并判断它是否为极值点，是极大值还是极小值，并求出极值。 7、熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，及如何简便地解方程组。 二、学习重点 多元复合函数求偏导数 偏导数的几何应用和多元函数的极值 三、内容提要 1、基本概念 (I)二元函数的定义设D为平面上的某个点集，若对D中的每一个点(x,y),变量：都 有唯一确定的实数值与之对应，则称z是x,y的函数，记做z=f(x,y)）或：=(x,y) 称x,y为自变量，z为因变量，D为定义域。 (Ⅱ)二元函数的极限 f化川=A台任给6>0，存在6>0，使当 0<(x-x)2+(y-)2<62时，恒有x,y)-A<6. (I)二元函数的连续性设函数：=f(x,)在点P(x。,)的某邻域内有定义，若 mf,)=f,小，则称：=fx,)在Bo)点连续。 (IV)二元函数的偏导数设函数：=f(x,)在点P,(x)的某邻域内有定义，若极限 巴+A-》有花，则新此板限为高数：=)在点R处 △ 对干自变程价发母题记强品离贷化划 可定：寄典

1 第八章 多元函数微分法 一、学习目的与要求 1、加深理解多元函数、偏导数、全微分的概念,知道二元函数的极限,连续性概念。 2、掌握复合函数求一、二阶偏导数的方法。 3、掌握由方程及方程组所确定的隐函数求偏导数的方法。 4、会求空间曲线的切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程。 5、了解方向导数与梯度的概念,并掌握它们的计算方法。 6、 熟练掌握求极值的方法，其中包括:建立目标函数(这是难点),并初步学会简化目标函 数,求出驻点并判断它是否为极值点,是极大值还是极小值,并求出极值。 7、 熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法,及如何简便地解方程组。 二、学习重点 多元复合函数求偏导数 偏导数的几何应用和多元函数的极值 三、内容提要 1、基本概念 （I）二元函数的定义 设 D 为平面上的某个点集，若对 D 中的每一个点 (x, y) ，变量 z 都 有唯一确定的实数值与之对应，则称 z 是 x, y 的函数，记做 z = f (x, y) 或 z = z(x, y) . 称 x, y 为自变量， z 为因变量，D 为定义域。 （ II ） 二 元 函 数 的 极 限 =  → → f x y A y y x x lim ( , ) 0 0 任 给   0, 存 在   0 ，使当 2 2 0 2 0 0  (x − x ) + ( y − y )   时，恒有 f (x, y) − A  . （III）二元函数的连续性 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域内有定义，若 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → ，则称 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P x y 点连续。 （IV）二元函数的偏导数 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域内有定义，若极限 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处 对于自变量 x 的偏导数，记做 , 0 0 y y x x x z = =   , 0 0 y y x x x f = =   , 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x 同理可定义： =   = = 0 0 y y x x y z y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0

(V)二元函数的全微分若函数：=f(x,)在点乃(x0,%)处的全增量 △=f(x。+△x,y。+△y)-f(xo,)可表示为△z=A△r+BAy+o(p),其中A,B是 与△x,Ay无关的常数，p=V△x)2+(4y)2,则称函数：=f(x,y)在点P。处可微， 称A△x+BAy为函数=fx,)在点(x,)处的全微分，记做止，即 正=A△x+BAy=Ad+B·当：=f(x,y)在点P。处可微时，有 正=.(xoo)d+f,(xo%)d (VT)二元函数的方向导数设函数：=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，则它在 点P处沿方向1（设x轴到方向1的转角为《）的方向导数定义为 高++-f,其中p=r+T,Ar=pma,y-pma (W工I)名元函数的梯度 函数u=f(x,八，)在点P(x,八，)的梯度定义为 gm-产7+产j+产天，方向号数与梯度的关系为斗=gm加，了，其中T为了方向 dx cy 的单位矢量 2、复合函数与隐函数微分法 ()多元复合函数微分法设=4(x,儿=(x,)都在点(x,)处具有对x和y的偏 导数，：=fu,)在其对应点(u,)处可微，则复合函数：=f(u(x,y),x,y》在点 仁必的两个学数购存在，且会离会膏会养等哥号 (II)隐函数微分法由一个方程确定的隐函数：设F(x,y,)是可微函数，若由方程 F(x,，)=0确定了隐函数：=f(x,),则当F(，)≠0时，有 2

2 （V）二元函数的全微分 若函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处的全增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z = f x + x y + y − f x y 可表示为 z = Ax + By + o() ，其中 A, B 是 与 x,y 无关的常数， 2 2  = (x) + (y) ，则称函数 z = f (x, y) 在点 P0 处可微， 称 Ax + By 为函数 z = f (x, y) 在 点 ( , ) 0 0 0 P x y 处的全微分，记做 dz ， 即 dz = Ax + By = Adx + Bdy . 当 z = f (x, y) 在 点 P0 处 可 微 时 ， 有 dz f x y dx f x y dy x y ( , ) ( , ) = 0 0 + 0 0 （VI）二元函数的方向导数 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 的某邻域内有定义，则它在 点 P 处 沿 方 向 l （ 设 x 轴 到 方 向 l 的 转 角 为  ） 的 方 向 导 数 定 义 为   ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f +  +  − =   → ，其中 2 2  = (x) + (y) ,x =  cos,y =  sin . 当 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微时, 有 cos sin  y f x f l f   +   =   . (VII) 多元函数的梯度 函 数 u = f (x, y,z) 在 点 P(x, y,z) 的梯度定义为 k z u j y u i x u gradu      +   +   = ，方向导数与梯度的关系为   gradu l l f =    ,其中   l 为 l  方向 的单位矢量. 2、复合函数与隐函数微分法 (I)多元复合函数微分法 设 u = u(x, y), v = v(x, y) 都在点 (x, y) 处具有对 x 和 y 的偏 导数, z = f (u,v) 在其对应点 (u,v) 处可微,则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)) 在点 (x, y) 处的两个偏导数均存在,且 , x v v f x u u f x z      +      =   . y v v f y u u f y z      +      =   (II)隐函数微分法 由一个方程确定的隐函数：设 F(x, y,z) 是可微函数,若由方程 F(x, y,z) =0 确 定 了 隐 函 数 z = f (x, y) , 则 当 F (x, y,z)  0 z 时 , 有

xF(x)可，y 由方程组确定的隐函数：方程组 xyL)=0确定了隐函数u=x以v=x,), G(xy4,)=0 则，产0可通过，产，产的线性方程组表示 dx dy dx Ov ax'ax'oy'oy +0+容-0 +r0 F.x 用克莱姆法则求解.同理可求 o. 等容 3、多元函数微分学的应用 (I)偏导数在几何上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面 1、设空间曲线L的参量式方程为： [x=x) y=)(【∈)令1=1。，可得到L上一点Mo(xo,),则曲线在该点的切 z=(t) 线与法平面方程分别为： x-x 2、设空间曲线L的一般式方程为 ∫Fxy,)=0 G(x,y)=0 ,记r=F,F,E}×,GG}=m,mp以则曲线在Mo(o%o) 的切线与法平面方程分别为 -0-y-h- x-x。)+y-y%)+pz-2o)=0 (2)曲线的切平面与法线 1、设曲面S由显式方程：=fx,)给出，则曲面在M,(,)处的切平面和法线 3

3 ( , , ) ( , , ) F x y z F x y z x z z x = −   , ( , , ) ( , , ) F x y z F x y z y z z y = −   . 由方程组确定的隐函数：方程组    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 确定了隐函数 u = u(x, y), v = v(x, y) , 则 y v x v y u x u         , , , 可通过 y v y u x v x u         , ; , 的线性方程组表示:         =   +   + =   +   + 0 0 x v G x u G G x v F x u F F x u v x u v        = −   +   = −   +   u v x u v x G x v G x u G F x v F x u F 用克莱姆法则求解.同理可求 出 , . y v y u     3、多元函数微分学的应用 (I)偏导数在几何上的应用 (1)空间曲线的切线与法平面 1、 设空间曲线 L 的参量式方程为： ( ) ( ) ( ) ( ) t I z z t y y t x x t       = = = 令 0 t = t ,可得到 L 上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z ,则曲线在该点的切 线与法平面方程分别为： =  − ( ) 0 0 x t x x =  − ( ) 0 0 y t y y ( ) 0 0 z t z z  − , ( )( − ) + 0 0 x t x x y (t 0 )( y − y0 ) + ( )( ) 0. z  t 0 z − z0 = 2、设空间曲线 L 的一般式方程为    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z ，记  , ,   , ,   , , , 0 F F F G G G m n p  = x y z  x y z M = 则曲线在 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 的切线与法平面方程分别为： , 0 0 0 p z z n y y m x x − = − = − m(x − x0 ) + n(y − y0 ) + p(z − z0 ) = 0 。 (2)曲线的切平面与法线 1、设曲面 S 由显式方程 z = f (x, y) 给出,则曲面在 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 处的切平面和法线

方程分别为：(x0,%(x-x)+f,(xy-)+厂(x0,:-0)=0 x-Xo y-%=2-0 f2(x0,o)f(xo)-1 2、设曲面S由隐式方程F(x,y,)=0给出，则曲面在Mo(xo,%,o)处的切平面方程 和法线方程分别为F(Mx-x)+F,(M-)+F(M(z-)=0, X-Xo -y-% 8-20 E(ME(M)E(M) ()多元函数的极值 (①)极值的定义若对点P()的某去心邻域内的任何点P(x,),恒有 fx,)<fxo,)(域f(x,y)>f(x,o),则称fxo)为fx,y)的一个极大 (小)值。 (2)极值的必要条件若函数：-f(x,)在点P(x,y)存在偏导数且达到极值，则必有 f(xo,%)=0,f,(0,y)=0。 (3)二元函数极值的充分条件设函数：=f(x,y)在点P,(x,)的某邻域内具有二阶连 续偏导数，且f()=f(P)=0。若记A=,B=∫仍，C=n4=B-4C(i)若 △<0，A<0(咸C<0),P为极大值点：(ii)若△<0，A<0(或C>0),P为极小 值点；(iii)若△>0，P不是极值点 (4)条件极值函数4=(x,y,)在约束条件(x,八，)=0下取得极值的必要条件为 F=f(x,y,)+p(xy,)=0 ,=,x,)+p,()=0其中F=fx,y)+x)称为拉格朗 F=f(x八，)+0.(x,y,)=0 F=o(x.y,=)=0 日函数。 (5)最大值与最小值的求法设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，将D内临界点的函

4 方程分别为： f x (x0 , y0 )(x − x0 ) + f y (x0 , y0 )( y − y0 ) + f z (x0 , y0 )(z − z0 ) = 0 ， ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y 2、设曲面 S 由隐式方程 F(x, y,z) = 0 给出,则曲面在 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 处的切平面方程 和法线方程分别为 Fx (M0 )(x − x0 ) + Fy (M0 )( y − y0 ) + F z (M0 )(z − z0 ) = 0 ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 F M z z F M y y F M x x x y z − = − = − (II)多元函数的极值 (1) 极 值 的 定 义 若 对 点 ( , ) 0 0 0 P x y 的 某 去 心 邻 域 内 的 任 何 点 P(x, y) , 恒 有 ( , ) ( , ) 0 0 f x y  f x y (或 ( , ) ( , ) 0 0 f x y  f x y ),则称 ( , ) 0 0 f x y 为 f (x, y) 的一个极大 （小）值。 （２）极值的必要条件 若函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 存在偏导数且达到极值，则必有 ( , ) 0, f x x0 y0 = f y (x0 , y0 ) = 0。 （３）二元函数极值的充分条件 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域内具有二阶连 续偏导数，且 ( ) ( ) 0 f x P0 = f y P0 = 。若记 ( ), ( ), ( ), . 2 A = f xx P0 B = f xy P0 C = f yy P0  = B − AC （i）若   0, A  0 (或 C  0 )，P0 为极大值点;（ii）若   0, A  0 (或 C  0 )， P0 为极小 值点;（iii）若   0, P0 不是极值点。 （４）条件极值 函数 u = f (x, y,z) 在约束条件 (x, y,z) = 0 下取得极值的必要条件为        = = = + = = + = = + = ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 F x y z F f x y z x y z F f x y z x y z F f x y z x y z z z z y y y x x x      其中 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 称为拉格朗 日函数。 （５）最大值与最小值的求法 设函数 f (x, y) 在有界闭区域Ｄ上连续，将Ｄ内临界点的函

数值与D的边界上的最大，最小值比较即得（这里临界点是指驻点与偏导数不存在的 点 对实际问题，若根据问题的性质，己知函数(x,y)在区域D内能取得最值，且函数D 内驻点唯一，则该驻点处的值即为所求。 (ITI)全微分在近似计算中的应用 近似计算公式当AA充分小时，可微函数：=f(x,)满足 L≈止≤f()△r+∫，(xo%Ay 绝对误差与相对误差 绝对误差△上df(xo,y%)△x+，(xy)‖y 相对误差 7oo46 f(xn,y。) (At 四、思考题 1、当点(x,y)沿无穷多条（平面）曲线趋向于点(xo,yo)时，f(x,y)都趋向于A,mf(x,y) 是否存在？ 2、二元函数在某点连续，在该点二重极限是否存在？反之呢？ 3、二元函数在某点连续，偏导数存在，可微之间有什么关系？与一元函数进行比较，有 哪些异同？ 4、设函数u=(x,y,v=w(x,y)在点(x,y)有偏导数，函数：=f(u,)在对应点(u,) 有连续偏导数，下列表达式哪些是对的？ (1)正=fdu+f(2)=f△u+f△v。 什么区别： 6、若函数：=化，)的二阶混合偏导数兰与都存在，能不能断定 x2-y2 x2+y2≠0 ar0y⑦a 0， x2+y2=0 5

5 数值与Ｄ的边界上的最大，最小值比较即得（这里临界点是指驻点与偏导数不存在的 点）。 对实际问题，若根据问题的性质，已知函数 f (x, y) 在区域Ｄ内能取得最值，且函数Ｄ 内驻点唯一，则该驻点处的值即为所求。 （III）全微分在近似计算中的应用 近似计算公式 当 x , y 充分小时，可微函数 z = f (x, y) 满足 ( , ) ( , ) . 0 0 0 0 z dz f x y x f x y y    x  + y  绝对误差与相对误差 绝对误差 | | | | | ( , ) || | | ( , ) || | . 0 0 0 0 z dz f x y x f x y y    x  + y  相对误差 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y f x y f x y x f x y f x y f x y dz f x y z x y    +   四、思考题 1、当点 (x, y) 沿无穷多条(平面)曲线趋向于点 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 都趋向于 A，lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 是否存在？ ２、二元函数在某点连续，在该点二重极限是否存在？反之呢？ ３、二元函数在某点连续，偏导数存在，可微之间有什么关系？与一元函数进行比较，有 哪些异同？ ４、设函数 u = (x, y), v = (x, y) 在点 (x, y) 有偏导数，函数 z = f (u,v) 在对应点 (u,v) 有连续偏导数，下列表达式哪些是对的？ （1） dz f du f dv = u + v （2） dz f u f v = u + v 。 （3） f x y x y y y f x y x y x x dz     +   = [ (( , ), ( , ))] [ (( , ), ( , ))] 。 ５、设 z = f (x,u),u = (x, y) ，试说明公式 x u u f x f x z      +   =   中等号两端的 x z   和 x f   有 什么区别？ ６、若函数 z = f (x, y) 的 二 阶 混 合 偏 导 数 x y f    2 与 y x f    2 都 存 在 ， 能 不 能 断 定 x y f    2 = y x f    2 ？考察      + = +  + − = 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y f x y