《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第八章 向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何 一、学习目的与要求 1、掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积），两个向量夹角的求法及垂直、平行的条件。 2、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟悉掌握用坐标表达式进行向量运算。 3、熟悉平面方程和直线方程及其求法。 4、理解曲面方程的概念 掌握常用二次曲面的方程及其图形。 5、知道空 线的参数方程和一般方程。 二、学习重点 向量运算，平面方程与直线方程及其求法 三、内容提要 1向量代数 (1)概念与运算既有大小又有方向的量称为矢量（向量），在数学中常用有向线段AB 或ā表示，其坐标表示为ā=xi++k={x,y,}。失量的大小称为矢量的长度或 模，记作AB或a,其坐标表示为=x2+y2+:2。模为零的矢量称为零矢量， 记作0，它无确定的方向。模为1的矢量为单位矢量，非零矢量ā的同方向单位矢量记 作a°，与矢量ā同方向的单位矢量a°可表示为 骨原4 设矢量a与三坐标轴正向的夹角为a,B,Y,则cosa,cosB,cosy称为矢量ā的方向 V 余弦，其坐标表示为cosa= F2+y2+京os Vx2+y2+22 ca7K+y产+{o co,csy怡为与a方向相同的单位矢量，且有 cos2a+c0s2B+c0s27=1。对于空间任意两点M,(,)及M,(,2,22)，则矢 量M,M2可表示为{x2-x,片2-y,52-}。矢量ā在矢量b上的投影可表示为 Prjga=cosa,b),其中0s(a,b)π (2)矢量的运算及性质 ()矢量的线性运算 加法满足平行四边形法则或三角形法则。若用坐标表示式，设

73 第七章 向量代数与空间解析几何 一、学习目的与要求 1、掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积），两个向量夹角的求法及垂直、平行的条件。 2、熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟悉掌握用坐标表达式进行向量运算。 3、熟悉平面方程和直线方程及其求法。 4、理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其图形。 5、知道空间曲线的参数方程和一般方程。 二、学习重点 向量运算，平面方程与直线方程及其求法 三、内容提要 1 向量代数 （1）概念与运算 既有大小又有方向的量称为矢量（向量），在数学中常用有向线段 AB 或 a  表示，其坐标表示为 a = xi + yj + zk = {x, y,z}     。矢量的大小称为矢量的长度或 模，记作 AB 或 a  ，其坐标表示为 a  = 2 2 2 x + y + z 。模为零的矢量称为零矢量， 记作 0，它无确定的方向。模为 1 的矢量为单位矢量，非零矢量 a  的同方向单位矢量记 作 0 a  ，与矢量 a  同方向的单位矢量 0 a  可表示为 0 a  = a a   ={ 2 2 2 x y z x + + , 2 2 2 x y z y + + , 2 2 2 x y z z + + }. 设矢量 a  与三坐标轴正向的夹角为  ,  , , ，则 cos  ,cos  ,cos  称为矢量 a  的方向 余弦，其坐标表示为 cos  = 2 2 2 x y z x + + ,cos  = 2 2 2 x y z y + + , cos  = 2 2 2 x y z z + + ,{ cos  ,cos  ,cos  }恰为与 a  方向相同的单位矢量，且有 cos2  +cos2  +cos2  =1。对于空间任意两点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 及 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z ，则矢 量 M 1M 2 可表示为 { , , } 2 1 2 1 2 1 x − x y − y z − z 。矢量 a  在矢量 b  上的投影可表示为 Pr j a a cos(a,b) b      = ，其中 0  ( a b   , )   . （2）矢量的运算及性质 （I）矢量的线性运算 加法满足平行四边形法则或三角形法则。若用坐标表示式，设

a={x1,1},6={x2y22},则ā+6={x1+x2,以+y2,1+2} 相应的减法定义为一矢量加上一矢量的负矢量，即ā-b=ā+(-b)。其坐标表示 为石-b={x-x2出-当2，-2}.对于任意实数1，定义数乘：设ā={x,以则 元a={元xy,z。 ()向量的数量积（也称点积，内积） 两矢量的数量积定义为a.b-同cos(a,b)其中（ā，b)表示矢量ā与b的夹角， 0≤(a,b)sπ。当（ā，b)=时，称a与6垂直，记作ā16 向量的数量积满足下列运算定律： a.b=ba:a(6+)=a.6+a-c:a.b=(a-b=a(: a1i台a.b=0 若设ā={偶，}，b=杯乃，则āb=xx3+乃+ ā16→ā.6=0台x+y+5=0 (山向量的向量积（也称叉积，外积） 两向量的向量积定义：ā×b是一个同时垂直于ā与b的矢量，它的模 a×b=同sin(ā，石，它的方向根据右手规则确定。 向量积满足下列运算定律： a×b=-bxa ax(6+c)=a×b+a×c a(axb)=(a)xb=ax(ab) aWb(或a,6共线)一axb=0 其几何意义：后xd表示以ā，为邻边的平行四边形的面积。 方 设a=杯y,万=x,则axb=为 X2 y2 =2

74 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ，则 { , , } 1 2 1 2 1 2 a + b = x + x y + y z + z   。 相应的减法定义为一矢量加上一矢量的负矢量，即 a b a ( b)     − = + − 。其坐标表示 为 { , , } 1 2 1 2 1 2 a − b = x − x y − y z − z   。对于任意实数  ，定义数乘：设 a = {x, y,z}  则  a  ={  x,  y,  z}。 （II）向量的数量积（也称点积，内积） 两矢量的数量积定义为 a b a b cos(a,b)        = 其中( a b   , )表示矢量 a  与 b  的夹角， 0  ( a b   , )   。当( a b   , )= 2  时，称 a  与 b  垂直，记作 a  b  ⊥ . 向量的数量积满足下列运算定律： a b b a      =  ； a b c a b a c        ( + ) =  +  ； (a b) ( a) b a ( b)         =   =   ； a  b  ⊥  a b    =0 若设 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ，则 1 2 1 2 1 2 a b = x x + y y + z z   a  b  ⊥  0 0 a b =  x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =   (III) 向量的向量积（也称叉积，外积） 两向量的向量积定义： a b    是一个同时垂直于 a  与 b  的矢量，它的模 a b    = a  b  sin( a b   , )，它的方向根据右手规则确定。 向量积满足下列运算定律： ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b b a a b c a b a c                    =   =    = −   + =  +  a b   // （或 a b   , 共线）  a b = 0   其几何意义： a b    表示以 a b   , 为邻边的平行四边形的面积。 设 { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 a = x y z b = x y z   ,则 a b    = 2 2 2 1 1 1 x y z x y z i j k   

ā6台ā×石=0台-上=4，其中若，乃，5之中有-个为“0”时，如 x2y22 x,=0,应理解为x=0。 (V)三向量的混合积 三向量的混合积定义为a,，c]=(ā×)c。三向量的混合积具有轮换性 [a,b,]=[b,c,=[c,a,b]:三向量共面台[a,b,=0 x y 1 设ā={x,y,5,b={2,2,2},c={x3为3}，则(@×b)c=2y:2 3 y3 =3 其几何意义：《āxb)d表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积。 (V)矢量之间夹角的余弦为cogā，b)= xX2+y2+z122 买+片+号写+片+写 2平面与直线 ()平面方程 (1)点法式方程：A《x-x)+By-%)+C(-o)=0,其中M(xo,o,)为平面上 定点，非零向量方={A,B,C}为平面的法向量。 (2)一般式方程：Ax+y+C:+D=0其中i={A,B,C}为平面的法向量。特别情 况：Ax++C:=0表示通过原点的平面：Ax++D-0,D≠0表示该平面 与z轴平行：Ax+D=0,D≠0表示该平面与y0:面平行；x=0表示o:平面 (3)截距式方程：若已知平面π在三坐标轴上的截距分别为a,b,c则平面π的方程 为++(ac0 (Ⅱ)直线方程

75 a b   //  a b = 0    2 1 x x = 2 1 2 1 z z y y = ,其中若 2 2 2 x , y ,z 之中有一个为“0”时，如 2 x =0，应理解为 1 x =0。 （IV）三向量的混合积 三向量的混合积定义为 a b c a b c       [ , , ] = (  ) 。三向量的混合积具有轮换性： [a,b,c] [b,c,a] [c,a,b]          = = ；三向量共面  [a,b,c] = 0    设 { , , }, { , , }, { , , } 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a = x y z b = x y z c = x y z    ,则 a b c    (  ) = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z . 其几何意义： a b c    (  ) 表示以 a b c    , , 为棱的平行六面体的体积。 （V）矢量之间夹角的余弦为 cos( a b   , )= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z x x y y z z + + + + + + . 2 平面与直线 （I）平面方程 （1）点法式方程： A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0,其中 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为平面上 一定点，非零向量 n = {A, B,C}  为平面的法向量。 （2）一般式方程： Ax + By + Cz + D = 0 其中 n = {A, B,C}  为平面的法向量。特别情 况： Ax + By + Cz = 0 表示通过原点的平面； Ax + By + D = 0, D  0 表示该平面 与 z 轴平行； Ax + D = 0, D  0 表示该平面与 yoz 面平行； x =0 表示 yoz 平面 (3) 截距式方程：若已知平面  在三坐标轴上的截距分别为 a,b, c 则平面  的方程 为 c z b y a x + + =1 ( a,b, c  0)。 ( II )直线方程 （1） 标准式（也称对称式，点向式）方程： p z z n y y m x x 0 0 − 0 = − = − ，其中

M,(,0,)是直线上一定点，了={m,n,P}为与直线平行的非零向量（即方向向量） x=x。+mt, (2)参数式方程： y=y。+m, (t为参数) (===0+pt (3)一般式（视作两个不平行平面的交线）方程： Ax+B+C:+D,=0, A2x+B2y+C2+D2=0, i方k 其方向向量可取为5=4BG 42 B2 C2 (Ⅲ)直线、平面间的位置关系 设平面元1，元2的法向量分别为元={4，B,C},元={4，B,C},两直线L,山 的方向矢量分别为S,={m1,n,P,},52={m2,n2,P}.两平面π2与元1间的夹角 0(常指锐角)由公式 c0s0-历x元 A42+BB2+C C2 问园F+B+C店+B+C确定. 两直线L,与La间的夹角0（常指锐角）由公式 mm +nm ppz 网++偏+玩+厉能， 两平面与平行，垂直的充要条件元，元∥元4=尽=S π21π1台i1i2台AA,+BB+CC2=0. 两直线L,与平行，垂直的充要条件：∥台可∥，台m=-: mz n2 P2 L⊥L2台5⊥52台mm+nh+PP3=0. L,与L2共面台(×32)MM2=0,其中M,M分别为L,L2上的已知点 直线L与平面π平行、垂直的充要条件：LU∥π一5⊥一Am+Bm+Cp=0

76 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 是直线上一定点， s = {m,n, p}  为与直线平行的非零向量（即方向向量）. （2）参数式方程：      = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 , , （t 为参数）. （3）一般式（视作两个不平行平面的交线）方程：    + + + = + + + = 0, 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 其方向向量可取为 2 2 2 1 1 1 A B C A B C i j k s     = . ( III ) 直线、平面间的位置关系 设平面 1 2  , 的法向量分别为 { , , }, { , , } n1 = A1 B1 C1 n2 = A2 B2 C2   ，两直线 L1,L2 的方向矢量分别为 { , , }, { , , } S1 = m1 n1 p1 S2 = m2 n2 p2   。两平面  2 与  1 间的夹角  （常指锐角）由公式 cos  = 1 2 1 2 n n n n      = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C + + + + + + 确定。 两直线 L１与 L2 间的夹角  （常指锐角）由公式 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m n p m n p m m n n p p s s s s + + + + + + =  =      确定。 两平面  2 与  1 平行，垂直的充要条件:  2 //  1 2 1 2 1 2 1 1 2 // C C B B A A  n n  = =   ;  2 ⊥  1  n1 ⊥ n2  A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0   . 两直线 L１与 L2 平行，垂直的充要条件: // // ; 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 p p n n m m L L  s s  = =   0. L1 ⊥ L2  s1 ⊥ s2  m1m2 + n1n2 + p1 p2 =   L１与 L2 共面 ( ) 0,  s1  s2  M1M2 =   其中 M1，M2 分别为 L１,L2 上的已知点。 直线 L 与平面  平行、垂直的充要条件:L//  s ⊥ n  Am + Bn + Cp = 0;   

L山π。3∥n⊙4_BC m n p V)点到平面的距离 点M,化：)到平面万：++Cc+D=0的距离d.,+B。+G。+D A2+B2+C (V)点到直线的距离 设点M化，)和直线上。'-上。-0，则点M,到直线L的距 MoM xs 离d= s ,其中M(x,0)为直线L上一定点，s={m,n,p}为直线L 的方向矢量。 3曲面与空间曲线 (1)二次曲面 曲面名称 方程 球面： (x-x)2+0-y2+e-:)2=R2 球心(xyoo】 半径R 椭球面： X- 中心(0,0,0)， 半轴长ab.c 单叶双曲面 中心(0,0,0) 双叶双曲面 中心(0,0,0) x2 y2 z2 ab-c3-1 椭圆抛物面！ x2 项点(0,0,0) z轴为对称轴 +6京=2ep0) 双曲抛物面 顶点(0.0,0) z轴为对称轴

77 L // . p C n B m A ⊥  s n  = =    (IV) 点到平面的距离 点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 到平面  : Ax + By + Cz + D = 0 的距离 d = 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D + + + + + （V）点到直线的距离 设点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 和直线 L: p z z n y y m x x 0 0 − 0 = − = − ，则点 M1 到直线 L 的距 离 d = s M M  s 0 1 ,其中 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为直线 L 上一定点， s = {m,n, p}  为直线 L 的方向矢量。 3 曲面与空间曲线 （I）二次曲面 曲面名称 方程 球面: 球心( 0 0 0 x , y ,z ) 半径 R 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 椭球面: 中心(0,0,0), 半轴长 a,b,c 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 单叶双曲面: 中心(0,0,0) 1 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x 双叶双曲面: 中心(0,0,0) 1 2 2 2 2 2 2 − − = c z b y a x 椭圆抛物面: 顶点(0,0,0) z 轴为对称轴 pz b y a x 2 2 2 2 2 + = (p>0) 双曲抛物面: 顶点(0,0,0) z 轴为对称轴 pz b y a x 2 2 2 2 2 − =