第十章曲线积分与曲面积分 一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。 2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。 3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。 6、掌握两类曲面积分的计算方法。 7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。 8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。 9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。 二、学习重点 对坐标的曲线积分的计算与格林公式。 对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。 三、内容提要 1、第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） (I)定义 /化达=细255A,其中L为空间光滑或分段光滑的曲 线孤，f(x,y,)是L上的有界函数，△s,△s2,.,△s。是将L任意划分成的n个小 弧段，(，5)是△s,上任意一点·△,也表示其长度 (i=1,2,.,m,元=xAs} (Ⅱ)可积性若函数fx八，)是L上的连续函数，则」，∫(x,八，)d山存在。 (m)性质设L是有限长的分段光滑曲线，f(x,y,2),g(x,八，)在L上连续，A、B 分别为L的起点和终点，则有 (1)J(x,达=(x,y还，即第一型曲线积分与曲线L的方向无关。 (2)∫，[ax,八，)+g(x,水，山=a,fx,八)s+,g(x,以，)d(a,B为常 数) (3)若L由两段弧L1和L2构成，则∫，f(x,出=∫fx,八，+」f(x,八，s (4)存在（5，n,s)∈L,使∫f(x,八，：站=f(5,n,s)ss为曲线L的弧长)
37 第十章 曲线积分与曲面积分 一、学习目的与要求 1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。 2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。 3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。 4、知道曲线积分的一些简单应用。 5、加深理解两类曲面积分的概念与性质。 6、掌握两类曲面积分的计算方法。 7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。 8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。 9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。 二、学习重点 对坐标的曲线积分的计算与格林公式。 对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。 三 、内容提要 1、 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） （Ⅰ）定义 i i i i n L i f x y z ds = Lim f s = → ( , , ) ( , , ) 1 0 ，其中 L 为空间光滑或分段光滑的曲 线弧， f (x, y,z) 是 L 上的有界函数， n s ,s , ,s 1 2 是将 L 任意划分成的 n 个小 弧 段 ，（ i i i , , ） 是 i s 上任意一点。 i s 也表示其长度 （ i i n i = n = s 1 1,2, , ), max . （Ⅱ）可积性 若函数 f (x, y, z) 是 L 上的连续函数，则 L f (x, y,z)ds 存在。 （Ⅲ）性质 设 L 是有限长的分段光滑曲线， f (x, y,z), g(x, y,z) 在 L 上连续，A、B 分别为 L 的起点和终点，则有 （1） = AB BA f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds, 即第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关。 （2） + = + L L L [f (x, y,z) g(x, y,z)]ds f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds ( , 为常 数) （3）若 L 由两段弧 L1 和 L2 构成，则 f x y z ds f x y z ds f x y z ds L L L = + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) （4）存在（ ,, ） L ，使 f x y z ds L ( , , ) = f (,, )s (s 为曲线 L 的弧长)
(IV)计算法则 (1)设空间分段光滑曲线L的参数方程为x=x(),y=y),:=(),a≤t≤B 其中x(t),(t),(t)在[a,B]上有连续导数，则有： ∫fx,y=)d=∫。fx)0,=Nr'+Dy'+e'd 其中ds=V[x'(u]+yu]+'u]d山为曲线L弧长的微分。 (2)关于平面曲线积分」f(x,y)还的计算方法 1°若平面曲线L的参数方程为x=x(t),y=(),a≤1≤B,则 dk=x'(+[by'(ud,」，fx,y)d达=fxt,tVxt'+[by]dh 2°若平面曲线L的方程为y=y(x(≤x≤β)，则ds=√+y(x本， ∫fxy)d=-∫fx,xN1+y(x4 3”若平面曲线L的方程为x=(yXa≤y≤B),则d=Vxy+1d ∫fxy达=∫2f几x%ror+id 40若平面曲线L由极坐标方程y=0),(@≤0≤B)给出，则 x=r(0)cos0.y=r(o)sm0.ds=()+[r()de, ∫fx,y)=∫fr(e)cos8,re)sn olr(e)+r'ed0 注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。 (V)应用 (1)求曲线L的弧长s:s=[,dk (2)求曲线弧的质量与重心：若p=px,y,)为光滑曲线L在点(x,y,)处的线密度 则曲线L的质量M为：M=[p(x,y,)5:设曲线L的重心坐标为（不，元，），则 =,=随=
38 （IV）计算法则 （1）设空间分段光滑曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t),z = z(t), t 其中 x(t), y(t),z(t) 在[ , ]上有连续导数，则有： f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt L = + + 2 2 2 ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] [ '( )] [ '( )] [ ( )] 其中 ds = x t y t z t dt 2 2 2 [ '( )] +[ '( )] +[ ( )] 为曲线 L 弧长的微分。 （2）关于平面曲线积分 L f (x, y)ds 的计算方法 1 0 若平面曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t), t ,则 ds x t y t dt 2 2 = [ ( )] +[ '( )] ， = + L f x y ds f x t y t x t y t dt ( , ) [ ( ), ( )] [ '( )] [ '( )] ] 2 2 2 0 若平面曲线 L 的方程为 y = y(x)( x ) ，则 ds y x dx 2 = 1+[ '( )] ， = + L f x y ds f x y x y x dx 2 ( , ) [ , ( )] 1 [ '( )] 3 0 若平面曲线 L 的方程为 x = x( y)( y ) ，则 [ '( )] 1 , 2 ds = x y + dy f x y ds f x y y x y dy L ( . ) [ ( ), ] [ '( )] 1 2 = + 4 0 若平面曲线 L 由极坐标方程 = ( ),( ) 给出，则 x = ( ) cos, y = ( )sin ， ds r d 2 2 = [ ( )] +[ '( )] ， = + f x y dx f r r r r d L 2 2 ( , ) [ ( ) cos , ( )sin ] [ ( )] [ ( )] 注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。 （Ⅴ）应用 （1）求曲线 L 的弧长 = L s : s ds （2）求曲线弧的质量与重心：若 = (x, y,z) 为光滑曲线 L 在点 (x, y,z) 处的线密度， 则曲线 L 的质量 M 为： = L M (x, y,z)ds ；设曲线 L 的重心坐标为 (x, y,z) ，则 = = = L L L z ds M y ds z M x ds y M x . 1 , 1 , 1
类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。 2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） (I)定义设Px,y,),Q(x,y,),R(x,y,)是定义在有向曲线L上的函数， F={P,Q,RF={cosa,cosB,cosy}为有向曲线L在点(x,y,:)处的单位切线 矢量，若积分[，F,存在，称它为矢量函数（或函数组P,Q,R)沿曲线L的第 二型曲线积分（或对坐标的曲线积分)。记F=化，八，》而={，少，止}则 dr=- fdx,dy,d sd=巡，F,ik=F.f=Pd+Qy+Rt )2+(2+(d 于是∫F.动又可记作∫F.f或j,P+Q咖+t (Ⅱ)可积性若F-{P,Q,R},P,Q,R在光滑曲线L上连续，则[，F·存在。 (Ⅲ)性质 D)F·本=-F·本，即第二型曲线积分与曲线的方向有关。 (2)∫(aF+G)dF=a,F.df+G而，(a,B为常数) (3)若有向曲线L平行于x0y面，则，Rt=0 若有向曲线L平行于o:面，则，P=0 若有向曲线L平行于0x面，则∫，Q山=0 若有向曲线L是平行于x轴的直线段，则∫，Q=∫Rt=0,其余类推。 (IV)计算法则 (1)设空间分段光滑有向曲线L的参数方程为x=x(),y=y),:=(),L的起点对 应1=a,终点对应1=B,则 JP(x.y.=)dx+Q(x.y.=.)dy+R(x.y.z)dE =∫2Px,0.=0'0+Ox00,0y0+x00,zo (2)关于平面第二型曲线积分」，P(x,y女+Q(x,y)的计算方法 39
39 类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。 2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） （ Ⅰ ） 定义 设 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) 是 定 义 在有 向 曲线 L 上 的 函数 ， = , , , = cos,cos ,cos F P Q R 为有向曲线 L 在点（ x, y, z ）处的单位切线 矢量，若积分 L F ds 存在，称它为矢量函数（或函数组 P,Q, R ）沿曲线 L 的第 二型曲线积分（或对坐标的曲线积分）。记 r = x, y,z dr = dx,dy,dz ， ，则 ds ds dx dy dz dx dy dz dr = + + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ， F ds = F dr = Pdx + Qdy + Rdz 于是 L F ds 又可记作 L F dr 或 + + L Pdx Qdy Rdz （Ⅱ）可积性 若 F = P,Q, R ， P,Q, R 在光滑曲线 L 上连续，则 L F dr 存在。 （Ⅲ）性质 （1） = − AB BA F dr F dr, 即第二型曲线积分与曲线的方向有关。 （2） + = + L L L (F G) dr F dr G dr,(, 为常数） （3） 若有向曲线 L 平行于 xoy 面，则 = L Rdz 0 若有向曲线 L 平行于 yoz 面，则 = L Pdx 0 若有向曲线 L 平行于 zox 面，则 = L Qdy 0 若有向曲线 L 是平行于 x 轴的直线段，则 = = 0 L L Qdy Rdz ，其余类推。 （IV）计算法则 （1）设空间分段光滑有向曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t),z = z(t)，L 的起点对 应 t = ，终点对应 t = ，则 P x t y t z t z t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt P x y z dx Q x y z dy R x y z dz L = + + + + [ ( ), ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( ), ( )] '( ) ( , , ) ( , , ,) ( , , ) （2）关于平面第二型曲线积分 P x y dx Q x y dy L ( , ) + ( , ) 的计算方法
10若平面有向光滑曲线L的参数方程为x=x),y=),L的起点对应1=a,终 点对应t=B,则 P(x.y+(x.)dy=[(Px().(()+ox().oy()dt 2若平面有向曲线L由直角坐标系下的方程y=x)给出，L的起点对应1=， 终点对应1=B,则 Px,y+Q(x,y)d=∫{Px,x】+Ox,xy(x) (V)应用质点沿有向曲线L从起点运动到终点时变力 F=P(x,y,7+Q(x,y,)i+Rx,y,=)k所做的功W为：W=∫F.f或 W=P(x,y,=dx+e(x,y,=)dy+R(x,y,=)d (VI)全微分式的积分 L是以A为起点，B为终点的分段光滑曲线，函数P,Q,R在L 上连续，若存在可微函数u(x,y,),使得d=Pdk+Q+Rd,则 B aPh++==M- 平面曲线积分也有类似结论。 (VI)格林(Green)公式 设平面闭区域D的边界是分段光滑曲线L,函数P(x,y,)Q(x,)在D上有一阶连续偏 (VⅢ)平面上曲线积分与路径无关的条件 设D是平面单连通域，函数P(x,y),Qx,)在D内有连续的一阶偏导数，则以下条件 互相等价。 (1入、对D中任一分段光滑曲线，积分∫P在+Q小与路径无关，只与L的起点和终 点有关。 (2X、沿D中任一分段光滑闭曲线L有：∫，P本+Q=0
40 1 0 若平面有向光滑曲线 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t), L 的起点对应 t = ，终 点对应 t = ，则 + = + P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt L ( , ) ( , ) [ ( ), ( )] '( ) [ ( ), ( )] '( ) 2 0 若平面有向曲线 L 由直角坐标系下的方程 y = y(x) 给出，L 的起点对应 t = ， 终点对应 t = ，则 + = + P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx L ( , ) ( , ) [ , ( )] [ , ( )] '( ) （Ⅴ）应用 质点沿有向曲线 L 从起点运动到终点时变力 F P x y z i Q x y z j R x y z k = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 所做的功 W 为： = L W F dr 或 W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz L = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) （VI）全微分式的积分 L 是以 A 为起点，B 为终点的分段光滑曲线，函数 P,Q, R 在 L 上连续，若存在可微函数 u(x, y,z) ,使得 du = Pdx + Qdy + Rdz ，则 + + = = − AB u B u A A B Pdx Qdy Rdz u ( ) ( ) 平面曲线积分也有类似结论。 （VII）格林（Green）公式 设平面闭区域 D 的边界是分段光滑曲线 L，函数 P(x, y,),Q(x, y) 在 D 上有一阶连续偏 导数，则有： − + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( ) , 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。 （VIII）平面上曲线积分与路径无关的条件 设 D 是平面单连通域，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 内有连续的一阶偏导数，则以下条件 互相等价。 （1）、对 D 中任一分段光滑曲线 L，积分 + L Pdx Qdy 与路径无关，只与 L 的起点和终 点有关。 （2）、沿 D 中任一分段光滑闭曲线 L 有： + = L Pdx Qdy 0
(3)在D内每一点处有巴=即 (4、在D内存在u(x,),使得du=Pdk+O,且 功=P油+Q冰+c,这里的化)为D内任意-定点，c 为任意常数。 (X)两类曲线积分之间的联系 Pdx+Qdy+Rd=(Pcosa+OcosB+Rcosy)ds 其中{Cosa,cosB,cosy}为有向曲线L在点(x,y,)处的单位切线矢量。 3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分） (I)定义 fx:5=m∑5,1,5，A,其中s是空间分片光滑的曲面， f(x,y,)是定义在S上的有界函数，△，△s2,△sn是将S划分成的n个小曲 面，(5，S)为小曲面△s上任意一点，△S,也表示其面积 =12,.,川），元=ma{As,的直径. (Ⅱ)可积性若fx,y,)在光滑曲面S上连续，则川fx,水，)dS存在。 (Ⅲ)性质 与第一型曲线积分性质相同。 (V)计算法则 (1)设曲面S有方程：=(x,y),它在xOy面上投影区域为D,则 ∬fcys=∬xy(x川++ (2)设曲面S有方程y=y(x,),它在xO面上投影区域为D,则 /xy=s=∬xx以h+2+g止 (3)设曲面S有方程x=x(,:),它在0z面上投影区域为D,=,则
41 （3）、在 D 内每一点处有 y P x Q = （4）、在 D 内存在 u(x, y) ，使得 du = Pdx + Qdy ，且 = + + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy c ，这里的 ( , ) 0 0 x y 为 D 内任意一定点，c 为任意常数。 （IX）两类曲线积分之间的联系 + + = + + L L Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos Rcos )ds 其中 cos,cos ,cos 为有向曲线 L 在点 (x, y,z) 处的单位切线矢量。 3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分） （Ⅰ）定义 i n i i i i S f x y z dS = f s = → 1 0 ( , , ) lim ( , , ) ，其中 S 是空间分片光滑的曲面， f (x, y,z) 是定义在 S 上的有界函数， 1 s , 2 s ,., n s 是将 S 划分成的 n 个小曲 面 , ( , , ) i i i 为小曲面 i s 上任意一点 , i s 也表示其面积 (i = 1,2, ,n), in = 1 max { i s 的直径}。 （Ⅱ）可积性 若 f (x, y,z) 在光滑曲面 S 上连续，则 S f (x, y,z)dS 存在。 （Ⅲ）性质 与第一型曲线积分性质相同。 （Ⅳ）计算法则 (1)设曲面 S 有方程 z = z(x, y) ，它在 xoy 面上投影区域为 Dxy ，则 S f (x, y,z)dS = f x y z x y z z dxdy Dxy + x + y 2 2 [ , , ( , )] 1 （2）设曲面 S 有方程 y = y(x,z) ，它在 xoz 面上投影区域为 Dxz ，则 S f (x, y,z)dS = f x y x z z y y dxdz Dxz + x + z 2 2 [ , ( , ), ] 1 （3）设曲面 S 有方程 x = x( y,z) ，它在 yoz 面上投影区域为 Dyz ，则