高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、:=Vlog.(x2+y2)(a>0)的定义域为D= 之、二重积分小+的符号为 3、由曲线y=hx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 4设曲线L的参数方程表示为下=0 (a≤x≤B),则弧长元素d本=_ y=v(t) 5、设曲面￡为x2+y2=9介于：=0及：=3间的部分的外侧，则 ∬x+y2+1d= 6、微分方程少=’+a上的通解为 dx x 7、方程y-4y=0的通解为_ 8级数会十)的和为 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数：=fx,)在(o)处可微的充分条件是() (A)f(x,)在(，%)处连续： (B)(x,),f(x,)在(x,)的某邻域内存在 (C)上-f(x,%)△r-(xoy)4y当V(△x)2+(△y2→0时，是无穷小： D)画-%Mr-少=0. V(ax)2+(△)2 1、接=小宁+学共种了具有价续号数，则密+密等于() (A)x+y:(B)x:(C)y: (D)0。 3、设2：x2+y2+z2≤1，：20，则三重积分1=dW等于() (A)4dodorsin ocosodr:
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 z = log ( )( 0) 2 2 a x + y a 的定义域为 D= 。 2、二重积分 + + | | | | 1 2 2 ln( ) x y x y dxdy 的符号为 。 3、由曲线 y = ln x 及直线 x + y = e +1 ， y = 1 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为 ( ), ( ) ( ) = = x y t x t 则弧长元素 ds = 。 5 、 设 曲 面 ∑ 为 9 2 2 x + y = 介 于 z = 0 及 z = 3 间 的 部 分 的 外 侧 ， 则 + + = x y 1)ds （ 2 2 。 6、微分方程 x y x y dx dy = + tan 的通解为 。 7、方程 4 0 (4) y − y = 的通解为 。 8、级数 =1 ( +1) 1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微的充分条件是（ ） （A） f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续； （B） f (x, y) x ， f (x, y) y 在 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内存在； （C） z f x y x f x y y − x ( 0 , 0 ) − y ( 0 , 0 ) 当 ( ) ( ) 0 x 2 + y 2 → 时，是无穷小； （D） 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 = + − − → → x y z f x y x f x y y x y y x 。 2、设 ( ) ( ), x y xf y x u = yf + 其中 f 具有二阶连续导数，则 2 2 2 2 y u y x u x + 等于（ ） （A） x + y ； （B） x ； (C) y ； (D)0 。 3、设 ： 1, 0, 2 2 2 x + y + z z 则三重积分 I = zdV 等于（ ） （A）4 2 0 2 0 1 0 3 sin cos d d r dr ；
(B)doj do。r2snat: (Cddsn (D)dodofsin co 4、球面x2+y2+:2=4a2与柱面x2+y2=2am所围成的立体体积V=( (A)do dr (®)4jd0jmrn4a-rdt (C)dofdr (D)J屋d0gamr4a2-rt 5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则{Pk+Q=() w小号架，小号盟 心小侣器：o小器兴 6、下列说法中错误的是( (A)方程y+2y+x2y=0是三阶微分方程 （⑧》方程)会+会=)m是一阶微分方程 (C)方程(x2+2.xy)+02+3x2y2)=0是全微分方程： D》方程+分是利防 7、已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x+y+6=0平行，而(x) 满足微分方程y”-2y'+5y=0,则曲线的方程为y=()
（B） 2 0 0 1 0 2 sin d d r dr ； （C） 2 0 2 0 1 0 3 d d r sin cos dr ； （D） 2 0 0 1 0 3 d d r sin cos dr 。 4、球面 2 2 2 2 x + y + z = 4a 与柱面 x y 2ax 2 2 + = 所围成的立体体积 V=（ ） （A） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d a r dr ； （B） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d r a r dr ； （C） − 2 0 2 cos 0 2 2 8 4 a d r a r dr ； （D） − − 2 2 2 cos 0 2 2 4 a d r a r dr 。 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则 + = L Pdx Qdy ( ) （A） − D dxdy x Q y P ( ) ； （B） − D dxdy x P y Q ( ) ； （C） − D dxdy y Q x P ( ) ； （D） − D dxdy y P x Q ( ) 。 6、下列说法中错误的是（ ） （A） 方程 2 0 2 xy + y + x y = 是三阶微分方程； （B） 方程 y x dx dy x dx dy y + = sin 是一阶微分方程； （C） 方程 ( 2 ) ( 3 ) 0 2 3 2 2 2 x + xy dx + y + x y dy = 是全微分方程； （D） 方程 x y x dx dy 2 2 1 + = 是伯努利方程。 7、已知曲线 y = y(x) 经过原点，且在原点处的切线与直线 2x + y + 6 = 0 平行，而 y(x) 满足微分方程 y − 2y + 5y = 0 ，则曲线的方程为 y = （ ）
(A)-e*sin 2x: (B)e(sin 2x-cos2x): (C)e"(cos2x-sin 2x): (D)e'sin 2x. 8、设mn=0,则∑4。（ ) 三、求下计g,发 (C)不一定 (D)绝对收敛。 1、(7分)设f,g均为连续可微函数。u=f(x,x),v=g(x+y), 器器 玉8分》段a小e地，*器器 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算1=e。(7分) 2、计算1=[川(x2+y2)dW,其中2是由x2+y2-2:,:=1及：=2所围成的空间 闭区域(8分)。 五5分》计1=手。产火中L是四面上的任一条无道发且分辰光滑不过 原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。 大.9分)设对任意x,y)满足方程心+》=仁O f(x)+f(y) 且∫'(0)存在，求fx)。 七、(8分)求级数2-1少-22 的收敛区间。 2n+1 高等数学（下册）考试试卷（二) 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1段2x+2y-=42-,则会*一 3-9+y-一 2、 0 3、设1=∫dxd,交换积分次序后，1=
（A） e x x − sin 2 ； （B） e (sin 2x cos 2x) x − ； （C） e (cos 2x sin 2x) x − ； （D） e x x sin 2 。 8、设 lim = 0 → n n nu , 则 n=1 n u （ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（7 分）设 f , g 均为连续可微函数。 u = f (x, xy),v = g(x + xy)， 求 y u x u , 。 2、（8 分）设 + − = x t x t u(x,t) f (z)dz ，求 t u x u , 。 四、求解下列问题（共计 15 分）。 1、计算 I = − 2 0 2 2 x y dx e dy 。（7 分） 2、计算 I = (x + y )dV 2 2 ，其中 是由 x 2 , 1 2 2 2 +y = z z = 及z = 所围成的空间 闭区域（8 分）。 五、（13 分）计算 + + − = L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过 原点 O(0,0) 的封闭曲线的逆时针方向。 六、（9 分）设对任意 x, y, f (x) 满足方程 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y f x f y f x y − + + = ，且 f (0) 存在，求 f (x) 。 七、（8 分）求级数 = + + − − 1 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n x 的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 2sin( x + 2y − 3z) = x + 2y − 3z ，则 = + y z x z 。 2、 = − + → → xy xy y x 3 9 lim 0 0 。 3、设 = 2 0 2 ( , ) x x I dx f x y dy ，交换积分次序后， I =
女花网为，且0-立，如一 5、设L为取正向的圆周x2+y2=4,则曲线积分 j,0e+10+(2e-x)d= 6、设A=(x2+z)i+(y2+x)+(e2+xy)k,则dmA= 7、通解为y=ce”+c2e2r的微分方程是_ 8接四公 -π≤x<0 0<x<π ,则它的Fourier展开式中的a。=一 二、选择题（每小题2分，共计16分）。 2 x2+V2≠0 1、设函数fx,)={x2+y ,则在点(0,0)处() x2+y2=0 (A)连续且偏导数存在： (B)连续但偏导数不存在： (C)不连续但偏导数存在： (D)不连续且偏导数不存在。 2、设(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 则( (A)最大值点和最小值点必定都在D的内部： (B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上： (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上： (D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3设平面区域D:(x-2}2+0-2s1,若1=小6+yd6,h=r+da 则有( (A)1<12:(B)I1=2:(C)11>12: (D)不能比较。 4、设2是由曲面：=xyy=x,x=1及：=0所围成的空间区域，则川xy:d小比 =( (C)65 (D 5,设任)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为：=0 y=w() (a≤t≤B)
4、设 f (u) 为可微函数，且 f (0) = 0, 则 + → + = + 2 2 2 ( ) 1 lim 2 2 3 0 x y t t f x y d t 。 5、设 L 为取正向的圆周 4 2 2 x + y = ，则曲线积分 + + − = L x x y( ye 1)dx (2ye x)dy 。 6、设 → → → A = (x + yz) i + (y + xz) j+ (z + xy) k 2 2 2 ，则 divA = 。 7、通解为 x x y c e c e 2 1 2 − = + 的微分方程是 。 8、设 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) ，则它的 Fourier 展开式中的 an = 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。 1、设函数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y x y f x y ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设 u(x, y) 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 0 2 x y u 及 + 2 2 x u 0 2 2 = y u ， 则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D：( 2) ( 1) 1 2 2 x − + y − ，若 = + D I x y d 2 1 ( ) ， = + D I x y d 3 2 ( ) 则有（ ） （A） 1 2 I I ； （B） 1 2 I = I ； （C） 1 2 I I ； （D）不能比较。 4、设 是由曲面 z = xy, y = x, x = 1 及 z = 0 所围成的空间区域，则 xy z dxdydz 2 3 =（ ） （A） 361 1 ； （B） 362 1 ； （C） 363 1 ； （D） 364 1 。 5、设 f (x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t ( t )
其中@0，y0在[a,B]上具有一阶连续导数，且o2()+w2()≠0，则曲线积 分fx,d=（ ∫2f@0.v(dr:®∫f@0,yo20+w2odt: (C∫f(o0,wNo20+w20d:(D)jf(o,w)d。 6、设Σ是取外侧的单位球面x2+y2+z2-1,则曲面积分 J∬xt+)+=( (A)0: (B)2π；(Cπ(D)4 7、下列方程中，设，乃2是它的解，可以推知y+为也是它的解的方程是( (A)y'+p(x)y+q(x)=0: (B)y"+p(x)y'+qx)y=0: (C)y"+p(x)y'+q(x)y=f(x):(D)y+p(x)y'+q(x)=0. 8、设级数∑a,为一交错级数，则( (A)该级数必收敛： (B)该级数必发散： (C)该级数可能收敛也可能发散：(D)若a,→0(n→0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、(8分)求函数4=Mx+Vy2+2)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,2,2) 的方向的方向导数。 2、(7分)求函数fx,)=x2(4-x-y)在由直线x+y=6y=0,x=0所围成的闭 区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列间题（共计15分） 1k分)计算=a+x+买种n是自x=0-0:=0及+：1 所围成的立体域。 2、(8分)设f)为连续函数，定义F0=∬E2+fx2+y 美种n-红x0≤：shr产+ys小*雪 五、求解下列问题(15分) 1、(8分)求1=∫，(esmy-my)d+(ecosy-m)d,其中L是从A(a,0)经
其中 (t),(t) 在 [, ] 上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 t + t ， 则曲线积 分 = L f (x, y)ds （ ） (A) f ((t), (t))dt ； (B) + f ((t), (t)) (t) (t)dt 2 2 ； (C) + f ((t),(t)) (t) (t)dt 2 2 ； (D) f ((t),(t))dt 。 6、设 是取外侧的单位球面 1 2 2 2 x + y + z = ， 则曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy =（ ） (A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D) 4 。 7、下列方程中，设 1 2 y , y 是它的解，可以推知 1 2 y + y 也是它的解的方程是（ ） (A) y + p(x) y + q(x) = 0 ； (B) y + p(x) y + q(x) y = 0 ； (C) y + p(x) y + q(x) y = f (x) ； (D) y + p(x) y + q(x) = 0。 8、设级数 n=1 n a 为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若 a → 0 (n → 0) n ，则必收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（8 分）求函数 ln( ) 2 2 u = x + y + z 在点 A（0，1，0）沿 A 指向点 B（3，-2，2） 的方向的方向导数。 2、（7 分）求函数 ( , ) (4 ) 2 f x y = x y − x − y 在由直线 x + y = 6, y = 0, x = 0 所围成的闭 区域 D 上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分） 1、（7 分）计算 + + + = 3 (1 x y z) dv I ，其中 是由 x = 0, y = 0,z = 0 及 x + y + z = 1 所围成的立体域。 2、（8 分）设 f (x) 为连续函数，定义 F(t) = [z + f (x + y )]dv 2 2 2 ， 其中 2 2 2 = (x, y,z) | 0 z h, x + y t ，求 dt dF 。 五、求解下列问题（15 分） 1、（8 分）求 = − + − L x x I (e sin y my)dx (e cos y m)dy ，其中 L 是从 A（a，0）经