高等数学（下册)考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、:=√log.(x2+y2)(a>0)的定义域为D= 2、二重积分厂Mx2+y2)的符号为_ 3、由曲线y=nx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示 为 一，其值为 4、设曲线L的参数方程表示为=) (a≤x≤B),则弧长元素dk= y=v() 5、设曲面∑为x2+y2=9介于：=0及z=3间的部分的外侧，则 ∬ax+y2+1d= 。 7、方程y-4y=0的通解为 +的和为 8、级数了1 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数：=f(x,y)在(x,)处可微的充分条件是() (A)f(x)在(0)处连续： (B)f(x,),(x,)在(xo6)的某邻域内存在： (C)△上-f(x)△x-(xy)Ay当V(Ax)2+(△y)2→0时是无穷小： D马-%A-y=0. V(△x)2+(4y) 2、设=+其中/其南骑连埃号数，则密票爷于（) (A)x+y:(B)x:(C)y: (D0. 102
102 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 z = log ( )( 0) 2 2 a x + y a 的定义域为 D= 。 2、二重积分 + + | | | | 1 2 2 ln( ) x y x y dxdy 的符号为 。 3、由曲线 y = ln x 及直线 x + y = e +1 ， y = 1 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为 ( ), ( ) ( ) = = x y t x t 则弧长元素 ds = 。 5 、设曲面 ∑ 为 9 2 2 x + y = 介 于 z = 0 及 z = 3 间的部分的外侧，则 + + = x y 1)ds （ 2 2 。 6、微分方程 x y x y dx dy = + tan 的通解为 。 7、方程 4 0 (4) y − y = 的通解为 。 8、级数 =1 ( +1) 1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可微的充分条件是（ ） （A） f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续； （B） f (x, y) x ， f (x, y) y 在 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内存在； （C） z f x y x f x y y − x ( 0 , 0 ) − y ( 0 , 0 ) 当 ( ) ( ) 0 x 2 + y 2 → 时是无穷小； （D） 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 = + − − → → x y z f x y x f x y y x y y x 。 2、设 ( ) ( ), x y xf y x u = yf + 其中 f 具有二阶连续导数，则 2 2 2 2 y u y x u x + 等于（ ） （A） x + y ； （B） x ； (C) y ； (D)0
3、设0：x2+y2+2≤1，：20，则三重积分1=川：dW等于（) (A)4∫d0 dosin co:(B)∫d0dor2 sin oxr: (c)∫a0ido0r'sin cos:(D)∫dodor'si。 4、球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2am所围成的立体体积V=（) ()4a0m4a-rd:(B)4后a0r4-rd。 (c)8ea0aor4a2-r:(D)j且d0amr4a-rdh。 5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,以，Q(x,y)在D上 具有一阶连续偏导数，则Pk+Q=() w小S是：⑧小号-盟： 心小袋黑：o架器 6、下列说法中错误的是( (A)方程”"+2y”+x2y=0是三阶微分方程 ®)方程)密+：交-少油是一骨成性微分方是 (C)方程(x2+2xy)+(y2+3x2y2)=0是全微分方程： 7、已知曲线y=(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x+y+6=0平行，而y(x) 满足微分方程y”-2y+5y=0,则曲线的方程为y=( (A)-e'sin 2x: (B)e(sin 2x-cos2x);
103 3、设 ： 1, 0, 2 2 2 x + y + z z 则三重积分 I = zdV 等于（ ） （A）4 2 0 2 0 1 0 3 sin cos d d r dr ；（B） 2 0 0 1 0 2 sin d d r dr ； （C） 2 0 2 0 1 0 3 d d r sin cos dr ；（D） 2 0 0 1 0 3 d d r sin cos dr 。 4、球面 2 2 2 2 x + y + z = 4a 与柱面 x y 2ax 2 2 + = 所围成的立体体积 V=（ ） （A） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d a r dr ；（B） − 2 0 2 cos 0 2 2 4 4 a d r a r dr ； （C） − 2 0 2 cos 0 2 2 8 4 a d r a r dr ；（D） − − 2 2 2 cos 0 2 2 4 a d r a r dr 。 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上 具有一阶连续偏导数，则 + = L Pdx Qdy ( ) （A） − D dxdy x Q y P ( ) ； （B） − D dxdy x P y Q ( ) ； （C） − D dxdy y Q x P ( ) ； （D） − D dxdy y P x Q ( ) 。 6、下列说法中错误的是（ ） （A） 方程 2 0 2 xy + y + x y = 是三阶微分方程； （B） 方程 y x dx dy x dx dy y + = sin 是一阶线性微分方程； （C） 方程 ( 2 ) ( 3 ) 0 2 3 2 2 2 x + xy dx + y + x y dy = 是全微分方程； （D） 方程 x y x dx dy 2 2 1 + = 是伯努利方程。 7、已知曲线 y = y(x) 经过原点，且在原点处的切线与直线 2x + y + 6 = 0 平行，而 y(x) 满足微分方程 y − 2y + 5y = 0 ，则曲线的方程为 y = （ ） （A） e x x − sin 2 ； （B） e (sin 2x cos 2x) x − ；
(C)e*(cos2x-sin 2x): (D)e'sin2x。 8、设m.=0,则∑4。( (A)收敛：(B)发散： (C)不一定： (D)绝对收敛 三、求解下列问题（共计5分） 1、(7分)设∫，g均为连续可微函数。u=f(x,xy),v=g(x+y), 0 28分)设x)=fet,求0， ax'at 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算1=∫e少。(7分) 2、计算1=[(x2+y2)dW,其中Ω是由x2+y2=22,z=1及z=2所围成的空间闭 区域(8分)。 五。（13分》计1=手沙：些，其中L是0面上的E一条无重点且分段光滑不经过源 点O(0.0)的封闭曲线的逆时针方向。 六.分)对任意网满是方+功-且了0溶在，求 七、8分)求级数2-少-2)" 2n+1的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二） 一、填空题（每小题3分，共计24分） k设2x42y-=42y-3,会+-一 2马3+ xy 104
104 （C） e (cos 2x sin 2x) x − ； （D） e x x sin 2 。 8、设 lim = 0 → n n nu , 则 n=1 n u （ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（7 分）设 f , g 均为连续可微函数。 u = f (x, xy),v = g(x + xy)， 求 y u x u , 。 2、（8 分）设 + − = x t x t u(x,t) f (z)dz ，求 t u x u , 。 四、求解下列问题（共计 15 分）。 1、 计算 I = − 2 0 2 2 x y dx e dy 。（7 分） 2、 计算 I = (x + y )dV 2 2 ，其中 是由 x 2 , 1 2 2 2 +y = z z = 及z = 所围成的空间闭 区域（8 分）。 五、（13 分）计算 + + − = L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原 点 O(0,0) 的封闭曲线的逆时针方向。 六、（9 分）设对任意 x, y, f (x) 满足方程 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y f x f y f x y − + + = ，且 f (0) 存在，求 f (x) 。 七、（8 分）求级数 = + + − − 1 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n x 的收敛区间。 高等数学（下册）考试试卷（二） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 2sin( x + 2y − 3z) = x + 2y − 3z ，则 = + y z x z 。 2、 = − + → → xy xy y x 3 9 lim 0 0
3、设1=∫df(x,y)d,交换积分次序后，1=_ 4设四为可微通数。且/0=0则立F+产da= 5、设L为取正向的圆周x2+y2=4,则曲线积分 f,0e*+10d+(2e-x)d=_ 6、设A=(x2+）)i+0y2+x)j+(e2+x9k,则dnA= 7、通解为y=ce+c,e2的微分方程是 .an- 一x≤x<0,则它的Fourier展开式中的a,=— 0<x<π 二、选择题（每小题2分，共计16分）。 1、设函数x)=2+少 x2+y2≠0 ,则在点(0,0)处() 0, x2+y2-0 (A)连续且偏导数存在： (B)连续但偏导数不存在： (C)不连续但偏导数存在： (D)不连续且偏导数不存在 2、设(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 瑞0及尝 20. 则( (A)最大值点和最小值点必定都在D的内部： (B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上： (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上： (D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D:(x-2)2+0y-1)2≤1，若1=(x+y)do,12=「(x+y)3do 则有() ()I1<12:(B)I1=12:(C)I1>12: (D)不能比较。 4、设2是由曲面：=xyy=x,x=1及：=0所围成的空间区域，则川xy2:dk小止= 105
105 3、设 = 2 0 2 ( , ) x x I dx f x y dy ，交换积分次序后， I = 。 4、设 f (u) 为可微函数，且 f (0) = 0, 则 + → + = + 2 2 2 ( ) 1 lim 2 2 3 0 x y t t f x y d t 。 5、设 L 为取正向的圆周 4 2 2 x + y = ，则曲线积分 + + − = L x x y( ye 1)dx (2ye x)dy 。 6、设 → → → A = (x + yz) i + (y + x z) j+ (z + x y) k 2 2 2 ，则 divA = 。 7、通解为 x x y c e c e 2 1 2 − = + 的微分方程是 。 8、设 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) ，则它的 Fourier 展开式中的 an = 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。 1、设函数 + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y x y f x y ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设 u(x, y) 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 0 2 x y u 及 + 2 2 x u 0 2 2 = y u ， 则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 3、设平面区域 D：( 2) ( 1) 1 2 2 x − + y − ，若 = + D I x y d 2 1 ( ) ， = + D I x y d 3 2 ( ) 则有（ ） （A） 1 2 I I ； （B） 1 2 I = I ； （C） 1 2 I I ； （D）不能比较。 4、设 是由曲面 z = xy, y = x, x = 1 及 z = 0 所围成的空间区域，则 xy z dxdydz 2 3 =
5、设f化)在画线苏L上有定义且连续，L的参数方程为：=0 (y=v(t) (as1≤B), 其中()，y)在[a,]上具有一阶连续导数，且p2()+w2()≠0，则曲线积分 ∫，fx,y)d=( ()∫f(o,w)d:(B)∫fp(0,wNp'2)+w20d: (C)+d:Dfvdt. 6、设Σ是取外侧的单位球面x2+y2+z2=1,则曲面积分 f川xt+td本+zdkd=(） (A)0:(B)2π：(Cπ：(D)4π。 7、下列方程中，设，少是它的解，可以推知乃+y也是它的解的方程是() (A)y'+p(x)y+q(x)=0: (B)y"+p(x)y'+q(x)y=0: (C)y"+p(x)y'+q(x)y=f(x):(D)y"+p(x)y'+q(x)=0. 8、设级数∑a,为一交错级数，则( (A)该级数必收敛： (B)该级数必发散 (C该级数可能收敛也可能发散：(D)若a。→0(n→0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、(8分)求函数u=nx+√y2+z2)在点A(1,0,1)沿A指向点B(3,2,2) 的方向的方向导数。 2、(7分)求函数f(x,y)=x24-x-y)在由直线x+y=6,y=0,x=0所围成的闭区 域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计15分）
106 （ ） （A） 361 1 ； （B） 362 1 ； （C） 363 1 ； （D） 364 1 。 5、设 f (x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t ( t ) ， 其中 (t),(t) 在 [, ] 上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 t + t ， 则曲线积分 = L f (x, y)ds （ ） (A) f ((t), (t))dt ； (B) + f ((t), (t)) (t) (t)dt 2 2 ； (C) + f ((t),(t)) (t) (t)dt 2 2 ； (D) f ((t),(t))dt 。 6、设 是取外侧的单位球面 1 2 2 2 x + y + z = ， 则曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy =（ ） (A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D) 4 。 7、下列方程中，设 1 2 y , y 是它的解，可以推知 1 2 y + y 也是它的解的方程是（ ） (A) y + p(x) y + q(x) = 0 ； (B) y + p(x) y + q(x) y = 0 ； (C) y + p(x) y + q(x) y = f (x) ； (D) y + p(x) y + q(x) = 0。 8、设级数 n=1 n a 为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若 a → 0 (n → 0) n ，则必收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（8 分）求函数 ln( ) 2 2 u = x + y + z 在点 A（1，0，1）沿 A 指向点 B（3，-2，2） 的方向的方向导数。 2、（7 分）求函数 ( , ) (4 ) 2 f x y = x y − x − y 在由直线 x + y = 6, y = 0, x = 0 所围成的闭区 域 D 上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分）