§2微分方程模型 根据1980年5月1日公布的数字，我国人口总数在1979年底 为97,092万人.假设当时的人口增长率为1.45%，即取 t=1979,N。=9.7092×103,=0.0145 则由(1.12)式可得； bW=a-m=0.029-0.0145=0.0145. (1.15) 这样一来，可利用(1.14)式对我国的人口总数作出估算.我们将 部分计算结果列成下表： 年底) 1987 1988 1990 1995 2000 2020 2050 2500 人口（亿 10.82 10.96 11.24 11.91 12.57 14.88 17.21 19.41 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这样一来，可利用(1.14)式对我国的人口总数作出估算.我们将 一部分计算结果列成下表: 8 0 0 0 t N r = = = 1979 9.7092 10 0.0145 ， ， 0 0 bN a r = − = − = 0.029 0.0145 0.0145. (1.15) 年(底) 1987 1988 1990 1995 2000 2020 2050 2500 人口(亿) 10.82 10.96 11.24 11.91 12.57 14.88 17.21 19.41 根据1980年5月1日公布的数字，我国人口总数在1979年底 为97,092万人.假设当时的人口增长率为1.45%，即取 则由(1.12)式可得； §2 微分方程模型
§2微分方程模型 最近两年，我国又公布了两次人口数字：1987年7月的抽样 调查结果为10.72亿（注意上表中的10.82亿是1987年底的估算 值)；1988年底的统计数字为10.9614亿(1989年2月19日公布)。 这说明上述估算有一定的可信度。按照这个估计，1995年底 是我国人口总数将接近12亿，到2020年底时，将接近15亿， 而最终趋势是19.42亿.事实上，从(1.13)式可以看出， lim N(t)= 从(6.14)式可算出b的值，再取a=0.029,代入上式可得： 819.42(亿 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 最近两年，我国又公布了两次人口数字：1987年7月的抽样 调查结果为10.72亿(注意上表中的10.82亿是1987年底的估算 值)；1988年底的统计数字为 10.9614亿 (1989年2月19日公布)。 这说明上述估算有一定的可信度。按照这个估计，1995年底 是我国人口总数将接近12亿，到2020年底时，将接近15亿， 而最终趋势是19.42亿.事实上，从(1.13)式可以看出， lim ( ) x a N t → b = 从(6.14)式可算出 b 的值，再取 a =0.029，代入上式可得: 19.42( ) a b 亿 §2 微分方程模型
§2微分方程模型 例2.捕食者与被捕食者的生态问题， 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅 以前者为食物，则我们称前者为被捕食者（简称为食饵），后者为捕 食者（简称为捕者）。例如农作物的害虫与它们的天敌或海洋中的非 肉食鱼与掠肉鱼都可以看成这样的两个物种. 现在我们来建立捕者和食饵之间的数学模型。假设捕者的总数以 x(t)表示，食饵的总数以y(t)表示（此处假设x(t)和y(t)为光滑函数， 如同在例1中所假设的那样，并且设x(t)>0,y(t)>0)。由于食饵自 身的食物充足，并且有足够的生存空间，所以在不考虑捕者的情 况下，其增长率为一个常数4（如马尔萨斯方程(1.8）所描述的)， 但捕者的存在势必降低了它的增长率，且为了简单，设这种降 低与捕者数量x(t)成正比。这样食饵的增长率为： r,=4-δx(1.16) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2.捕食者与被捕食者的生态问题. 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅 以前者为食物，则我们称前者为被捕食者(简称为食饵)，后者为捕 食者(简称为捕者)。例如农作物的害虫与它们的天敌或海洋中的非 肉食鱼与掠肉鱼都可以看成这样的两个物种. (1.16) y r x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0) (1.8) ( ) x t y t x t y t x t y t x t 。 现在我们来建立捕者和食饵之间的数学模型。假设捕者的总数以 表示,食饵的总数以 表示(此处假设 和 为光滑函数， 如同在例1中所假设的那样,并且设 由于食饵自 身的食物充足，并且有足够的生存空间, 所以在不考虑捕者的情 况下，其增长率为一个常数 (如马尔萨斯方程 所描述的)， 但捕者的存在势必降低了它的增长率，且为了简单，设这种降 低与捕者数量 成正比。这样食饵的增长率为: §2 微分方程模型
§2微分方程模型 其中4和δ为正的常数.类似的讨论可以得出捕者的增长率为： r=-九+0y (1.17) 其中入和o为正的常数.将方程(1.8)中的N(t)分别取为x()与y(t), 并将其中的增长率r分别以(1.17和(1.16)来表示，就得到捕者与 食饵所满足的微分方程组： k =x(-+oy), dt (1.18) y dt =y(u-6x). 观察(1.18)中的两个方程，发现右端都与无关.这启发我们把这 两个方程相除，得到只含变量x与的方程 少Jy(u-δx) (1.19) d x(-元+oy) 结束 上一页返回下一页< 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (1.17) x r y = − + ， 其中 和 为正的常数.类似的讨论可以得出捕者的增长率为: 观察(1.18)中的两个方程，发现右端都与t无关.这启发我们把这 两个方程相除，得到只含变量x与y的方程 其中和为正的常数.将方程(1.8)中的N(t)分别取为x(t)与y(t) ， 并将其中的增长率r 分别以(1.17)和(1.16)来表示，就得到捕者与 食饵所满足的微分方程组: ( ) (1.18) ( ). dx x y dt dy y x dt = − + = − ， ( ) . (1.19) ( ) dy y x dx x y − = − + §2 微分方程模型
§2微分方程模型 这是一个变量分离的方程，.它可以化为 :(-2+o)=(世-o)k, 由此积分后，得到方程(6.18)的通解为 H(x,y)=6x+oy-ulnx-aIny=h (1.20) 其中h为任意常数。 为了在平面(c,y)上作出曲线族1.20)的图形，我们可 以把它看成三维空间（化，z)中的曲面z=H(化y)与平面z=h 的截痕在平面(cy)上的投影.容易看出 (1)limH(x,y)=+o∞，imH(x,y)=+o∞， x>0+ y>0+ 以及 lim H(x,y)=+o; x++V 》。 (x>0,>0) (2)函数H(x,y)当x>0,y>0时有唯一的逗留点(x,y)月 x- (1.21) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这是一个变量分离的方程，它可以化为 为了在平面(x,y)上作出曲线族(1.20)的图形，我们可 以把它看成三维空间(x,y,z)中的曲面z=H(x,y)与平面z=h 的截痕在平面(x,y)上的投影.容易看出 0 0 (1) lim ( , ) lim ( , ) x y H x y H x y → + → + = + = + ， ， 2 2 ( 0, 0 ) lim ( , ) x y x y H x y + → 以及 = +； (2) 函数H x y x y x y ( , ) 0, 0 ( ) 当 时有唯一的逗留点 ， ： x y (1.21) = = ， ， 由此积分后，得到方程(6.18)的通解为 其中h为任意常数。 ( ) ( ) , dy dx y x − + = − H x y x y x y h ( , ) ln ln (1.20) = + − − = §2 微分方程模型