第四章高阶微分方程 在第二章中我们已学习了一阶微分方程的求解方法，从本章开始我们将讨论二阶及二阶以上的微分方 程，即高阶微分方程。在微分方程的理论中，线性微分方程是非常重要的一类。线性微分方程的理论己被 研究的很清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章主要学习线性微分方程的理论和常 系数方程的解法以及高阶微分方程的降阶问题 §4.1线性徽分方程的一般理论 教学目的：了解线性徽分方程的基本理论，掌握齐线性与非齐线性微分方程方程的解的性质与结构， 掌握利用常数变易法求解非齐线性微分方程解的方法。 4.1,1线性微分方程的一般理论 (1)线性微分方程的定义：未知函数与未知函数的导数是一次的微分方程称之为线性微分方程。 (2)形式：n阶线性微分方程的一般形式： +ag h+a,@x=f04.) 其中a,(d)i=l,2,.,m)及f()都是区间a≤x≤b上的连续函数. 如果f()=0,则方程(4.)变为 +a0+a-a0=0a2 我们称它为n阶齐线性微分方程，简称齐线性方程，称(4.1)为n阶非齐线性微分方程，并且称(4.2)是对 应于方程(4.)的齐线性方程。 (3)解的存在唯一性定理 定理1如果a(di=l,2,.,n)及f()都是区间a≤x≤b上的连续函数，则对于任一，∈[a,b]及任意 的x,x9,方程(4.1)存在唯一解x=p()定义于区间a≤x≤b上，且满足初始条件 p)=xoh）=04e=43 注：从此定理可以看出：初始条件(4.3)唯一确定了方程(4.)的解，并且其解在a,(t)(i=1,2,.,m)及 第1页共29页
第 1 页 共 29 页 第四章 高阶微分方程 在第二章中我们已学习了一阶微分方程的求解方法，从本章开始我们将讨论二阶及二阶以上的微分方 程，即高阶微分方程。在微分方程的理论中，线性微分方程是非常重要的一类。线性微分方程的理论已被 研究的很清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章主要学习线性微分方程的理论和常 系数方程的解法以及高阶微分方程的降阶问题。 §4. 1 线性微分方程的一般理论 教学目的：了解线性微分方程的基本理论，掌握齐线性与非齐线性微分方程方程的解的性质与结构， 掌握利用常数变易法求解非齐线性微分方程解的方法。 4．1．1 线性微分方程的一般理论 （1）线性微分方程的定义：未知函数与未知函数的导数是一次的微分方程称之为线性微分方程。 （2）形式： n 阶线性微分方程的一般形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4.1 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 其中 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及 f t( ) 都是区间 a x b 上的连续函数。 如果 f t( ) 0 ，则方程 (4.1) 变为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 4.2 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt − + + + + = − − 我们称它为 n 阶齐线性微分方程，简称齐线性方程，称 (4.1) 为 n 阶非齐线性微分方程，并且称 (4.2) 是对 应于方程 (4.1) 的齐线性方程。 （3）解的存在唯一性定理： 定理 1 如果 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及 f t( ) 都是区间 a x b 上的连续函数，则对于任一 t a b 0 , 及任意 的 (1 1 ) ( ) 0 0 0 , , , n x x x − ，方程 (4.1) 存在唯一解 x t = ( ) 定义于区间 a x b 上，且满足初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , , , 4.3 n n n d t d t t x x x dt dt − − − = = = 注：从此定理可以看出：初始条件 (4.3) 唯一确定了方程 (4.1) 的解，并且其解在 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及
∫()连续的整个区间上存在。 4.1.2齐线性方程的解的性质与结构 (一）解的性质： 定理2（叠加原理）如果x(),x(),x()是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合 cx()+cx()+.+Cx()也是(42)的解，这里G,C2,.,C是任意常数 问题：当k=n时，方程(4.2)有解x=cx(0)+Cx(d)++cx(d)(4.4),它含有n个任意常数，试 问(4.4)是否是方程(4.2)的通解呢？如果不是，表达式(4.4)在什么条件下能构成为n阶齐线性方程的通 解 (二)函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念 (1)函数线性相关与线性无关：设定义在区间a≤x≤b上的函数x(),x(⑦)，.，x(),如果存在不全 为零的常数G,G,.,C4,使得恒等式c()+c,()++Cx()=0对于所有t∈[a,]都成立，我们 称这些函数为线性相关的，否则，就称这些函数在所给区间上线性无关。 即Gx(+Cx2(①+.+Cx(d=0当且仅当G=C2=.=C4=0时函数线性无关。 例如：①函数sint和cos1在任何区间上线性无关：Gsin1+C2cos1=0恒成立，当且仅当G=C2=0 ②函数sin2t和cos2t-1在任何区间上都线性相关。令G=C2=1,则sin2t+cos1-1=0对所有t∈R 都成立。 ③函数1,，线性无关，因为G+c1+.+C三0最多只有n个值使它成立，而对所有1∈R都成 立，应满足，C=C2=.=cn=0 由于用定义判别函数的线性相关与无关比较不易，所以给出下列概念。 伏朗斯基行列式的定义：由定义在区间a≤1≤b上的k个可微k-1次的函数x(①)，x2(),x()所成 行列式 x(0 W[x(,x2(),.,x(0]= x(0) (0.(0) x-(x-(.x-( 称这些函数的伏朗斯基行列式。 (三)函数线性相关与线性无关的判定条件： 第2页共29页
第 2 页 共 29 页 f t( ) 连续的整个区间上存在。 4．1．2 齐线性方程的解的性质与结构 (一) 解的性质： 定理 2（叠加原理）如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的 k 个解，则它们的线性组合 c x t c x t c x t 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) k k ( ) 也是 (4.2) 的解，这里 1 2 , , , k c c c 是任意常数。 问题：当 k n = 时，方程 (4.2) 有解 x c x t c x t c x t = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) (4.4) ，它含有 n 个任意常数，试 问 (4.4) 是否是方程 (4.2) 的通解呢？如果不是，表达式 (4.4) 在什么条件下能构成为 n 阶齐线性方程的通 解？ （二）函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念 （1）函数线性相关与线性无关：设定义在区间 a x b 上的函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) k ( ) ，如果存在不全 为零的常数 1 2 , , , k c c c ，使得恒等式 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 k k c x t c x t c x t + + + 对于所有 t a b , 都成立，我们 称这些函数为线性相关的，否则，就称这些函数在所给区间上线性无关。 即 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 k k c x t c x t c x t + + + 当且仅当 1 2 0 k c c c = = = = 时函数线性无关。 例如：① 函数 sint 和 cost 在任何区间上线性无关； 1 2 c t c t sin cos 0 + = 恒成立，当且仅当 1 2 c c = = 0 ② 函数 2 sin t 和 2 cos 1 t − 在任何区间上都线性相关。令 1 2 c c = =1 ，则 2 2 sin cos 1 0 t t + − = 对所有 t R 都成立。 ③ 函数 2 1, , , , n t t t 线性无关，因为 1 2 0 n n c c t c t + + + 最多只有 n 个值使它成立，而对所有 t R 都成 立，应满足， 1 2 0 n c c c = = = = 由于用定义判别函数的线性相关与无关比较不易，所以给出下列概念。 伏朗斯基行列式的定义：由定义在区间 a t b 上的 k 个可微 k −1 次的函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) k ( ) 所成 行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W x t x t x t x t x t x t − − − 称这些函数的伏朗斯基行列式。 （三）函数线性相关与线性无关的判定条件：
定理3：函数线性相关的必要条件：若函数x(),x,(),.,x,()在区间a≤1≤b上线性相关， 则在[a,b]上它们的伏朗斯基行列式W(=0(若存在一点。∈[a,],使得W()≠0，则函数 x(t),x(t),.,xn(t)线性无关) 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数G,G2,C。,使得 cx(d+cx3(d)+.+c,x(d)=0,a≤1≤b(4.5) 依次对1微分此恒等式，得到 cx()+cx(0)+.+cnx()=0 cxi(0)+cx(0+.+cx0）=0 (4.6). cx-(+c,x-()+.+cx-()=0 将(4.5)和(4.6)看成关于G,G,C的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是 W[x(),x(),x,()门，于是由线性代数理论可知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须 为零，即W(t=0(a≤t≤b)。证毕。 注：逆定理不成立。W()=0(a≤1≤b)不是函数线性相关的必要条件 考案肠数x0-仁。10和飞0= 00≤1s1 。70tk00-o,Eau 证得它们是线性无关的。 假设存在恒等式c()+cx()=0-1≤1≤1(4.7)，当-1≤1<0时，得c=0,当0≤1≤1时，得 C2=0,即除G=C=0以外，不存在其它常数值G,S2,使得C()+C22()三0-1≤1≤1恒成立。 故x(),x(①)线性无关。 定理4：（方程的解线性无关的必要条件）如果方程(4.2)的解x(C),x(d),.,x()在区间a≤1≤b上 线性无关，则W[x(,x(),x()门在这个区间的任何点上都不等于零，即W()≠0(a≤1≤b) 注：比较定理3与定理4的条件，定理4是在函数x(),x(),.,x()是方程(42)的解的情况下给出 的解线性无关的必要条件。 证明：采用反证法。设存在。∈[a,b小，使得W()=0,考虑关于G,C,·,Cn的齐次线性代数方程组 第3页共29页
第 3 页 共 29 页 定理 3：函数线性相关的必要条件： 若函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性相关， 则在 a b, 上它们的伏朗斯基行列式 W t( ) 0 （若存在一点 t a b 0 , ，使得 W t( ) 0 ，则函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关） 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数 1 2 , , , n c c c ，使得 c x t c x t c x t a t b 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 0, 4.5 ( ) 依次对 t 微分此恒等式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 0 0 4.6 0 n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t − − − + + + + + + + + + . 将 (4.5) 和 (4.6) 看成关于 1 2 , , , n c c c 的 齐 次 线 性 代 数 方 程 组 ， 它 的 系 数 行 列 式 就 是 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) ，于是由线性代数理论可知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须 为零，即 W t a t b ( ) 0( ) 。证毕。 注：逆定理不成立。 W t a t b ( ) 0( ) 不是函数线性相关的必要条件。 考察函数 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 t t t x t x t t t t − − = = 和 ，显然 W x t x t 1 2 ( ), 0 ( ) ，但可以 证得它们是线性无关的。 假设存在恒等式 c x t c x t t 1 1 2 2 ( ) + − ( ) 0 1 1 4.7 ( ) ，当 − 1 0 t 时，得 1 c = 0 ，当 0 1 t 时，得 2 c = 0, 即除 1 2 c c = = 0 以外，不存在其它常数值 1 2 c c, ，使得 c x t c x t t 1 1 2 2 ( ) + − ( ) 0 1 1 恒成立。 故 x t x t 1 2 ( ), ( ) 线性无关。 定理 4：（方程的解线性无关的必要条件） 如果方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上 线性无关，则 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在这个区间的任何点上都不等于零，即 W t a t b ( ) 0( ) 注：比较定理 3 与定理 4 的条件，定理 4 是在函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的解的情况下给出 的解线性无关的必要条件。 证明：采用反证法。设存在 t a b 0 , ，使得 W t( 0 ) = 0 ，考虑关于 1 2 , , , n c c c 的齐次线性代数方程组
Gx(6)+G()+.+cx(6)=0 Gx(6)+Gx()+.+c(o)=0 4.44+4t44444.44.4.4.0444 Gx-(6)+c-()+.+cx-(6o）=0 由于其系数行列式为零，故(4.8)有非零解G,C2,C。 根据叠加原理x()=c()+c水3()++c,x()a≤1≤b是方程(4.2)的解，由(4.8)知x(t)满足 初始条件x(,)=x()=x()=.=x-()=0(4.9),而x(0)=0显然也满足初始条件(4.9)由解 的唯一性定理知：G()+G()++Cx()）=0a≤1≤b,因为G,G,Cn不全为零，这就与 x(t),x(t),.,x(t)线性无关的假设矛盾。 注：根据定理4可知，如果方程(4.2)的解x(),x(),.,x()在区间a≤1≤b上线性无关，则 W[x(),x3(),x,()]在这个区间上的任何点都不等于零，反之如果存在一点∈[a,b小，使得 W()=0,则方程(42)的解x(),x(),x()在区间a≤1≤b上线性相关。 (四)线性齐方程解的结构： 定理5：n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。 证明：根据定理1，满足初始条件 x(6)=1,x()=0,xm(6)=0 无6)=0，)=1，x-6)=0(410) x()=0,()=0,.,x(o)=1 的解x(),x(可).，x()一定存在，且W[x(),x2().,x()门≠0，这n个解线性无关。 定理6（通解结构定理）如果x(),(),x()是方程(4.2)的n个线性无关的解，则方程的通解可表 示为x(0)=Gx()+Cx3(+.+cx(t)(4.11),其中C,C2,.,Cn是任意常数，且(4.11)包含了方程 (4.2)的所有解。 证明：(1)首先由叠加原理可知(4.1)是方程(4.2)的解， 第4页共29页
第 4 页 共 29 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t − − − + + + + + + + + + 由于其系数行列式为零，故 (4.8) 有非零解 1 2 , , , n c c c 。 根据叠加原理 x t c x t c x t c x t a t b ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 是方程 (4.2) 的解，由 (4.8) 知 x t( ) 满足 初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 4.9 n x t x t x t x t − = = = = = ，而 x t( ) 0 显然也满足初始条件 (4.9) 由解 的唯一性定理知： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t a t b + + + ，因为 1 2 , , , n c c c 不全为零，这就与 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关的假设矛盾。 注：根据定理 4 可知，如果方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性无关，则 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在这个区间上的任何点都不等于零，反之如果存在一点 t a b 0 , ，使得 W t( 0 ) = 0 ，则方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性相关。 （四）线性齐方程解的结构： 定理 5： n 阶齐次线性方程 (4.2) 一定存在 n 个线性无关的解。 证明：根据定理 1，满足初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 0 1 0 0 0 1, 0 , , 0 0, 1, , 0 4.10 0, 0 , , 1 n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t − − − = = = = = = = = = 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 一定存在，且 W x t x t x t 1 0 2 0 0 ( ), , , 0 ( ) n ( ) ，这 n 个解线性无关。 定理 6（通解结构定理）如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的 n 个线性无关的解，则方程的通解可表 示为 x t c x t c x t c x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) (4.11) ，其中 1 2 , , , n c c c 是任意常数，且 (4.11) 包含了方程 (4.2) 的所有解。 证明：（1）首先由叠加原理可知 (4.11) 是方程 (4.2) 的解
. (2)其次，由于 =W[x(d),x2(),.,x(]≠0a≤1≤b x(-)dx(-1) dx(-1) dc. 所以G,C2,.,Cn相互独立，故(4.11)是方程(4.2)的通解。 (3)下证(4.11)包含方程(42)的所有解。 根据定理1可知方程(4.2)的解唯一地取决于它所满足的初始条件，只需证明，任给一初始条件 x)=x,x()=X,xm()=xr-(4.12) 能够确定(4.1山)中的常数C,G,.,C,的值。使(4.1山)满足(4.12) 现令(4.1)满足条件(4.12)，我们得到如下关于G,C2,.,Cn的线性代数方程组： Gx(（)+c2x2()+.+cnx()=x G(o)+c(o)+.+c(o)=6 (4.13) G-()+cx-()++cx-()=x- 它的系数行列式W(,)≠0，所以方程(4.13)有唯一解G,2,C.,则它就满足条件(4.12）。证毕。 推论：方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n,所以，n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空 间。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程组的一个基本解组。显然，基本解组不是唯一的。 4.1.3非齐线性方程与常数变易法 (1)非齐线性方程解的性质： 考虑非齐线性方程 +a++a密+ar=f0a) d- 我们有以下两个简单性质： 性质1如果x(d)是方程(4.)的解，而x()是方程(42)的解，则x()+x()是(4.1)的解。 第5页共29页
第 5 页 共 29 页 （2）其次，由于 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n n x x x c c c x x x c c c x x x c c c − − − ＝W x t x t x t a t b 1 2 ( ), , , 0 ( ) k ( ) 所以 1 2 , , , n c c c 相互独立，故 (4.11) 是方程 (4.2) 的通解。 （3）下证 (4.11) 包含方程 (4.2) 的所有解。 根据定理 1 可知方程 (4.2) 的解唯一地取决于它所满足的初始条件，只需证明，任给一初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 , , , 4.12 n n x t x x t x x t x − − = = = 能够确定 (4.11) 中的常数 1 2 , , , n c c c 的值。使 (4.11) 满足 (4.12) 现令 (4.11) 满足条件 (4.12) ，我们得到如下关于 1 2 , , , n c c c 的线性代数方程组： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 4.13 n n n n n n n n n n c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x − − − − + + + = + + + = + + + = 它的系数行列式 W t( 0 ) 0 ，所以方程 (4.13) 有唯一解 1 2 , , , n c c c ，则它就满足条件 (4.12) 。证毕。 推论：方程 (4.2) 的线性无关解的最大个数等于 n ，所以， n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空 间。方程 (4.2) 的一组 n 个线性无关解称为方程组的一个基本解组。显然，基本解组不是唯一的。 4．1．3 非齐线性方程与常数变易法 （1）非齐线性方程解的性质： 考虑非齐线性方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4.1 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 我们有以下两个简单性质： 性质 1 如果 x t( ) 是方程 (4.1) 的解，而 x t( ) 是方程 (4.2) 的解，则 x t x t ( ) + ( ) 是 (4.1) 的解