习题（二） 常数变易公式：一阶线性非齐次方程dr/dl+p()x=g(U)的 切解可以表示为x(t)=h(t)(c+「q(s)/h(s)ds)其中h()是对应的 线性齐次方程dk/d+p(t)x=0的任一个确定的非零特解，可取 h()=exp(-p()d)中一个特定的函数。其中exp(s)=e表示指 数函数。c为任意常数。注意公式中的两个函数()必须取同 个函数。 1.用分离变量法解下列方程或初值问题： ①杂+e=-0 解：y=cexp(-e2d)=cexp(-e2/2) (2)secx2 tan ydx +sec2 ytanxdy=0 解：原方程可化为tanydtanx+tanxd tany=0,从而 d(tanxtan y)=0,积分得通解tanxtany=c。 (3)(x+1)少+1=2ey dx 解：将原方程可化为(x+1)e'少+(e'-2)d=0,进而化为 (x+1)d(e-2)+(e-2)d(x+l)=0,即d(x+1)(e'-2]=0,积分 得通解(x+1(e'-2)=c
1 习 题 (二) 常数变易公式：一阶线性非齐次方程 dx dt p t x q t / ( ) ( ) + = 的一 切解可以表示为 0 ( ) ( )( ( ) / ( ) ) t t x t h t c q s h s ds = + 其中 ht( ) 是对应的 线性齐次方程 dx dt p t x / ( ) 0 + = 的任一个确定的非零特解，可取 h t p t dt ( ) exp( ( ) ) = − 中一个特定的函数。其中 exp( ) s s e = 表示指 数函数。 c 为任意常数。注意公式中的两个函数 ht( ) 必须取同一 个函数。 1. 用分离变量法解下列方程或初值问题： （1） 2 0 dy x ye dx + = 解： 2 2 exp( ) exp( / 2) x x y c e dx c e = − = − （2） 2 2 sec tan sec tan 0 x ydx y xdy + = 解 ： 原 方 程 可 化 为 tan tan tan tan 0 yd x xd y + = ，从而 d x y (tan tan ) 0 = ，积分得通解 tan tan x y c = 。 （3） ( 1) 1 2 dy y x e dx − + + = 解：将原方程可化为 ( 1) ( 2) 0 y y x e dy e dx + + − = ，进而化为 ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 0 y y x d e e d x + − + − + = ，即 [( 1)( 2)] 0 y d x e + − = ，积分 得通解 ( 1)( 2) y x e c + − = . （4） 2 1 3 0 dy y x e dx y + + =
解：将原方程化为6e3dk+6 yedy=0,积分得通解 2e3r-3e=c. (5)少=e 解：将方程化为e'd-ed=0,积分得通解e'-e=c. (6)x2(1-y)d+y2(1+x)k=0 解：当y≠0时，将方程化为 (1/x2+1/x)dk+(1/y2-1/y)dy=0 积分得通解1/x+1/y+ln[y(cx】=0。还有两个特解，x=0及 y=0,它们不包括在通解中。 (7)3e*tan ydx+(1-e*)sec2 ydy =0,y(1)=/4 解：将原方程化为-3tand(e-l)+(e-l)dtany=0,方程两边 乘以(e-1)4,得d(e-1)3tany=0积分得通解 (e-l)3tany=c,即tany=c(e-l)3,初值问题的解为 y=arctan[(e*-1)/(e-1)3]. (8)(1+x)d+x(1-y)dy=0,y(2)=0 解：初值问题的解为y=0(不能从通解In(y)/c)=y-x中得 到)。 (9)W1+x)=1+y,0=0 dx 解：将方程化为d1+y)1dx2)=(1+y)[x21+x2】,分离变量 得d1+y2)/1+y2)=1/x2-1/1+x2)]d(x2),积分得通解为 (1+x2)1+y2)=cx2,初值问题的解为(1+x2)1+y2)=2x2解出y 2
2 解 ： 将 原 方 程 化 为 2 3 6 6 0 x y e dx ye dy − + = ， 积 分 得 通 解 2 3 2 3 x y e e c − − = . （5） dy x y e dx − = 解：将方程化为 0 y x e dy e dx − = ，积分得通解 y x e e c − = . （6） 2 2 x y dy y x dx (1 ) (1 ) 0 − + + = 解：当 xy 0 时，将方程化为 2 2 (1/ 1/ ) (1/ 1/ ) 0 x x dx y y dy + + − = 积分得通解 1/ 1/ ln[ /( )] 0 x y y cx + + = 。还有两个特解， x = 0 及 y = 0 ，它们不包括在通解中。 （7） 2 3 tan (1 )sec 0 x x e ydx e ydy + − = ， y(1) / 4 = 解：将原方程化为 3tan ( 1) ( 1) tan 0 x x − − + − = yd e e d y ，方程两边 乘以 4 ( 1) x e − − ，得 3 [( 1) tan ] 0 x d e y − − = 积分得通解 3 ( 1) tan x e y c − − = ，即 3 tan ( 1) x y c e = − ，初值问题的解为 3 3 arctan[( 1) /( 1) ] x y e e = − − 。 （8） (1 ) (1 ) 0 + + − = x ydx x y dy ， y(2) 0 = 解：初值问题的解为 y = 0 （不能从通解 ln(( ) / ) xy c y x = − 中得 到）。 （9） 2 2 (1 ) 1 dy xy x y dx + = + ， y(1) 0 = 解：将方程化为 2 2 2 2 2 d y d x y x x (1 ) / ( ) (1 ) /[ (1 )] + = + + ，分离变量 得 2 2 2 2 2 d y y x x d x (1 ) /(1 ) [1/ 1/(1 )] ( ) + + = − + ， 积 分 得 通 解 为 2 2 2 (1 )(1 ) + + = x y cx ，初值问题的解为 2 2 2 (1 )(1 ) 2 + + = x y x 解出 y
得y=[(x2-1)(x2+12。 2.将下列方程化为变量分离方程后求解： (1)(x+y)d-(x-y)dy=0 解：将方程两边乘以2，再重新组合化为 2(xdx+ydy)-2(xdy-ydx)=0, 可见，可凑成微分 d(x2+y)-2(x2+y)d arctan(y/x)=0, 两边同除以x2+y2得： d(x2+y2)/(x2+y2)-2darctan(y/x)=0, 积分得通解： In(x2+y2)-2arctan(y/x)=c, (注：本题是齐次方程，也是按齐次方程的通常解法求解，但较繁)。 (2)y2dk+(x2-y)y=0 解：将方程重新组合化为 -y(xdy-ydx)+x2dy =0, 凑微分得 -x'yd(y/x)+xdy=0, 当y≠0时，两边同除以x2y得： -dy/x)+y/y=0, 积分得通解： -y/x+ln(y/c)=0, 或化为y=cexp(y/x):还有特解x=0不包括在通解中。特解 3
3 得 2 2 1/ 2 y x x = − + [( 1) /( 1)] 。 2. 将下列方程化为变量分离方程后求解： （1） ( ) ( ) 0 x y dx x y dy + − − = 解：将方程两边乘以 2 ，再重新组合化为 2( ) 2( ) 0 xdx ydy xdy ydx + − − = ， 可见，可凑成微分 2 2 2 3 d x y x y d y x ( ) 2( ) arctan( / ) 0 + − + = ， 两边同除以 2 2 x y + 得： 2 2 2 2 d x y x y d y x ( ) /( ) 2 arctan( / ) 0 + + − = ， 积分得通解： 2 2 ln( ) 2arctan( / ) x y y x c + − = ， (注：本题是齐次方程，也是按齐次方程的通常解法求解，但较繁)。 （2） 2 2 y dx x xy dy + − = ( ) 0 解： 将方程重新组合化为 2 − − + = y xdy ydx x dy ( ) 0， 凑微分得 2 2 − + = x yd y x x dy ( / ) 0， 当 xy 0 时，两边同除以 2 x y 得： − + = d y x dy y ( / ) / 0， 积分得通解： − + = y x y c / ln( / ) 0， 或化为 y c y x = exp( / ) ；还有特解 x = 0 不包括在通解中。特解
y=0可以包含在通解的后一种形式中。（注：本题是齐次方程，也 是按齐次方程的通常解法求解)。 (3)=2y-y dxx2x+y 解：方程是齐次方程，引进新的未知函数u,满足关系式y=xu, 对x求导得关系式/dk=u+xu/d,将这两式代入方程得： u+xdu/dk=(2u2-0)/1-u+u2), 分离变量得： [2/u-1)-1/u-3/(u-2)]du=2d/x, 积分得： ln[(2-1)2/(cu(u-2)3]=lnx2或(u-1)2=cx2(u-2)3, 以u=y/x代入得到通解(y-x)2=y(y-2x)3,还有两个通解 y=0及y=2x,它们不包括在通解中，分别对应于u=0和u=2 (注：与u=1对应的解y=x可以包括在通解中(c=0时)。 (4)xdy/dx =xexp(y/x)+y+x 解：方程时齐次方程，用变量代换y=,得变量分离方程： xdu/dx exp(u)+1, 进而写成： dx/x+dexp(-u)/(exp(-u)+1)=0 积分得： In(x(exp(-u)+1)/c)=0, 代回原变量得通解： x(l+exp(-y/x)=c。 (5)x(Inx-Iny)dy-ydx=0 解：方程是齐次方程，用变量代换y=xu,得变量分离方程： xdu/d=-u(1+lnu)/lnu,u≠l/e时，化为 4
4 y = 0 可以包含在通解的后一种形式中。（注：本题是齐次方程，也 是按齐次方程的通常解法求解）。 （3） 2 2 2 dy y xy 2 dx x xy y − = − + 解：方程是齐次方程，引进新的未知函数 u ，满足关系式 y xu = ， 对 x 求导得关系式 dy dx u xdu dx / / = + ，将这两式代入方程得： 2 2 u xdu dx u u u u + = − − + / (2 ) /(1 )， 分离变量得： [2/( 1) 1/ 3/( 2)] 2 / u u u du dx x − − − − = ， 积分得： 2 2 3 2 ln[( 1) /( ( 2) )] ln u cu u x − − = 或 2 2 3 ( 1) ( 2) u cx u u − = − ， 以 u y x = / 代入得到通解 2 3 ( ) ( 2 ) y x cy y x − = − ，还有两个通解 y = 0 及 y x = 2 ，它们不包括在通解中，分别对应于 u = 0 和 u = 2 （注：与 u =1 对应的解 y x = 可以包括在通解中（ c = 0 时））。 （4） xdy dx x y x y x / exp( / ) = + + 解：方程时齐次方程，用变量代换 y xu = ，得变量分离方程： xdu dx u / exp( ) 1 = + ， 进而写成 ： dx x d u u / exp( ) /(exp( ) 1) 0 + − − + = 积分得： ln( (exp( ) 1) / ) 0 x u c − + = ， 代回原变量得通解： x y x c (1 exp( / )) + − = 。 （5） x x y dy ydx (ln ln ) 0 − − = 解：方程是齐次方程，用变量代换 y xu = ，得变量分离方程： xdu dx u u u / (1 ln ) / ln = − + ，u e 1/ 时，化为
dx/x+Inud Inu/(1+Inu)=0, 积分得； In[cxu/(1+Inu)]=0, 代回原变量得通解cy=1+lny-lnx,特解y=x/e包含在通解 中。 (6)d/d=(2x-y+1)/(x-2y+1) 解：将方程化为微分形式并分组得： [(2x+1)dk+(2y-1)y]-(xy+yd)=0, 进而得：d(x2+x+y2-y)-d(xy)=0,积分得通解： x2+y2+x-y-xy=c (注：本题也可以化为少=2x+1/3)-0y-1/3) 后按齐次方程的 d(x+1/3)-2(y-1/3) 解法来求解，但较繁)。 (7)d1dk=(2x+3y+4)/(4x+6y+5) 解：令=2x+3y,故 d/dk=2+3d/d=2+3(u+4)/2u+5), 即du/dk=(7u+22)/(2u+5).7u+22=0时，得特解 14x+21y+22=0, 7u+22≠0时，分离变量得[2-9/(7u+22)]d=7d, 积分得2u-9/7n(7u+22)/c=7x,代回原变量整理得通解 7(2y-x)-3lnl(14x+21y+22)/c=0。 另一形式为 14x+21y+22=cexp(7(2y-x)/3),特解14x+21y+22=0包含 在通解的后一种形式中。 5
5 dx x ud u u / ln ln /(1 ln ) 0 + + = ， 积分得; ln[ /(1 ln )] 0 cxu u + = , 代回原变量得通解 cy y x = + − 1 ln ln ，特解 y x e = / 包含在通解 中。 （6） dy dx x y x y / (2 1) /( 2 1) = − + − + 解：将方程化为微分形式并分组得： [(2 1) (2 1) ] ( ) 0 x dx y dy xdy ydx + + − − + = ， 进而得: 2 2 d x x y y d xy ( ) ( ) 0 + + − − = ，积分得通解： 2 2 x y x y xy c + + − − = （注：本题也可以化为 2( 1/ 3) ( 1/ 3) ( 1/ 3) 2( 1/ 3) dy x y dx x y + − − = + − − 后按齐次方程的 解法来求解，但较繁）。 （7） dy dx x y x y / (2 3 4) /(4 6 5) = + + + + 解：令 u x y = + 2 3 ，故 dy dx dy dx u u / 2 3 / 2 3( 4) /(2 5) = + = + + + ， 即 du dx u u / (7 22) /(2 5) = + + . 7 22 0 u + = 时 ， 得 特 解 14 21 22 0 x y + + = ， 7 22 0 u + 时，分离变量得 [2 9/(7 22)] 7 − + = u du dx ， 积分得 2 9/ 7ln[(7 22) / ] 7 u u c x − + = ，代回原变量整理得通解 7(2 ) 3ln[(14 21 22) / ] 0 y x x y c − − + + = 。 另一形式为 14 21 22 exp(7(2 ) / 3) x y c y x + + = − ，特解 14 21 22 0 x y + + = 包含 在通解的后一种形式中