新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（习题解答）第五章 线性微分方程组习题及答案

习题5.1 5.试用Picard逐次逼近法，求出初值问题 a 0-周 的第3次近似解码 答： 「4-8 (注：精确解为=厂2sn2r] 1-2r2 )0-[]0- -sint 2)对c,9,它满足初始条件(0)=(9,9)'的解为 x0)=ci(0)+cv() 解：略 8.将下列二阶方程化成二维一阶方程（其中a,山，0,8均为参数）： (水星进动的Einstein方程) 2)票+(e-)培=0，（mw方程 )朵+or+me0。 (Duffing方程)： 票-1-(]会0 (Rayleigh方程) 2空-传-小空=-：心d灰 4会客*啡-

习题 5.1 5.试用 Picard 逐次逼近法，求出初值问题 0 4 , 1 0 d x x dt   =     − ( ) 0 0 1 x   =     的第 3 次近似解 3 . 答： 3 3 2 8 4 3 1 2 t t t    −   =     − .(注：精确解为 2sin 2 cos 2 t x t   =     ) 1) 有解 ( ) cos sin t u t t   =     − 和 ( ) sin cos t v t t   =     ； 2) 对 1 2 c c, ，它满足初始条件 (0 , ) ( 1 2 ) T x c c = 的解为 x t c u t c v t ( ) = + 1 2 ( ) ( ) 解：略 8. 将下列二阶方程化成二维一阶方程（其中 a, , ,    均为参数）： 1) 2 2 2 d u u a u d   +=+ ， （水星进动的 Einstein 方程）： 2) ( ) 2 2 2 1 0 d x dx x x dt dt + − + =  ， （Van der Pol 方程）： 3) 2 3 2 0 d x x ax dt + + =  ， (Duffing 方程)： 4) 2 2 2 1 0 d x dx dx x dt dt dt      − − + =           （Rayleigh 方程） 解：1. 2 , du dv v a u u d d    = = − + ； 2. 3 , 3 dx x dy y x x dt dt    = − − = −     ; (Lienard 变换) 3. 2 3 , dx dy y x ax dt dt = = − −  ； 4. ( ) 2 , 1 dx dy y x y y dt dt = = − + −  ；

9.首先利用Lienard变换把二阶拟线性方程 ☆r0 化成关于(x,y)的二维一阶方程组，然后转变成以y为自变量，以x为未知函数的 Bernoulli方程，并求出这Bernoulli方程的通解。 餐：食aad变换：F国-在=号-会F(),得餐价方程组 少-号y:-中，它是以y为有变是，以为未知函数的方品，进化 为线性方程但=-3，求得适解-+3+e心 d 习题2.2 线性丰齐次微分方程组的常数实号公式对于线性丰齐次微分方程组否=40+了0。 其中A(口)是n阶连续函数矩阵，了()是n维连续的函数矢量。设对应的齐次方程组的基解 矩阵为()，则非齐次方程组的通解为x()=()c+∫Φ'(s)了(s)心其中() 为D(t的逆阵。c为n维任意常数矢量。 1试验证 21为苏次方程组 「011 2 x在1>0上的基解阵，并求解非齐次方程 「011 22+ 组的初值问题 0 答：验证略。用常数变易公式得解为x()=(, 2.思考题设n阶方阵中()的列矢量在[a,b]上线性无关，找出在什么条件下才存在齐次 方程组x=A(0x,(其中A(C)在[a,b]上连续)使得中(0为它的基解阵？若这样的 方程组存在，是否唯一？

9．首先利用 Lienard 变换把二阶拟线性方程 2 2 2 2 0 d x dx x x dt dt + + = 化成关于 ( x y, ) 的二维一阶方程组，然后转变成以 y 为自变量，以 x 为未知函数的 Bernoulli 方程，并求出这 Bernoulli 方程的通解。 解：做 Lienard 变换： ( ) ( ) 3 2 0 , 3 x x dx F x x dx y F x dt = = = +  ，得二维一阶方程组 3 2 , 3 x x y y x   = − = − ，它是以 y 为自变量，以 x 为未知函数的 Bernoulli 方程，进而化 为线性方程 ( ) 3 3 3 d x x y dt = − ，求得通解 3 3 3 y x y ce = + + 习题 2.2 线性非齐次微分方程组的常数变易公式：对于线性非齐次微分方程组 ( ) ( ) d x A t x f t dt = + ， 其中 A t( ) 是 n 阶连续函数矩阵， f t( ) 是 n 维连续的函数矢量。设对应的齐次方程组的基解 矩阵为 (t) ，则非齐次方程组的通解为 ( ) ( )( ( ) ( ) ) 0 1 t t x t t c s f s ds − =  +  ，其中 ( ) 1 t −  为 (t) 的逆阵。 c 为 n 维任意常数矢量。 1. 试验证 2 2 1 t t t       为齐次方程组 2 0 1 x x 2 2 t t      =   −   在 t  0 上的基解阵，并求解非齐次方程 组的初值问题 ( ) 2 0 1 2 2 1 1 1 1 t x x t t x          = +         −        =      答：验证略。用常数变易公式得解为 ( ) ( ) 2 , T x t t t = 2. 思考题 设 n 阶方阵 (t) 的列矢量在 a b,  上线性无关，找出在什么条件下才存在齐次 方程组 x A t x ( )  = ，（其中 A t( ) 在 a b,  上连续）使得 (t) 为它的基解阵？若这样的 方程组存在，是否唯一？

答：当且仅当n阶方阵中()的行列式在[a,b]上恒不为零且连续可微时，才存在齐次方 程组x=A()x,使得中()为它的基解阵，而且这样的方程组是唯一的（因为这时 A(t)='(t)Φ(t) 3设A()为在[a,]上连续的n阶实方阵，中()为方程组x=A(0)x的基解阵，而()为 它的一个解。试证 (i)对于方程组y=-()少的任一解必有亚()p()=常数 (i)()为方程组y=-4()少的基解阵的充要条件为存在非异的常方阵C,使得 中(0Φ(0=C 证：①因为[可=p+分=-(r+4o=0 所以()(0)=常数 (i)必要性：设()为方程组y=-(少的基解阵，则()的任一列矢量（可是方 程组y=-A()少的解，而D(0的任一列矢量@，（句）是方程组x=A)x的解，由()， 可()p(0=C是常数：即0)Φ()=C=(C)是常方阵。 充分性：设（①）中()=C是非异的常方阵，由于基解阵中是非异的，则中=C④也非 异，两边关于1求导得：=C(中)， (1) 再对恒等式Φφ=I两边关于1求导得：（仰）Φ十Φp'=0,从而得： (Φ）=-Φ'Φ'Φ (2) 代入(1)得r=C(Φ）=-CΦΦ'Φ1=-CΦ4ΦΦ=-A 即：T=一A,两边取转置得'=-A种， 即()为方程组y=一A(句)少的基解阵。证毕 4设A为n阶常方阵，中)为方程组￥=A的标准基解阵，试证：对 i,∈R有④(t)'()=Φt-)

答：当且仅当 n 阶方阵 (t) 的行列式在 a b,  上恒不为零且连续可微时，才存在齐次方 程组 x A t x ( )  = ，使得 (t) 为它的基解阵，而且这样的方程组是唯一的（因为这时 ( ) ( ) ( ) 1 A t t t − =    ） 3 设 A t( ) 为在 a b,  上连续的 n 阶实方阵，(t) 为方程组 x A t x ( )  = 的基解阵，而  (t) 为 它的一个解。试证： （i）对于方程组 ( ) T y A t y  = − 的任一解必有 ( ) ( ) T  t t =常数 （ii）  (t) 为方程组 ( ) T y A t y  = − 的基解阵的充要条件为存在非异的常方阵 C，使得 ( ) ( ) T  t t C  = 证：（i）因为 ( ) 0 T T T T T T          A A     = + + =      ＝－ 所以 ( ) ( ) T  t t =常数 （ii）必要性：设  (t) 为方程组 ( ) T y A t y  = − 的基解阵，则  (t) 的任一列矢量 i (t) 是方 程组 ( ) T y A t y  = − 的解，而 (t) 的任一列矢量  j (t) 是方程组 x A t x ( )  = 的解，由（）， ( ) ( ) T i i j j  t t c = 是常数：即 ( ) ( ) ( ) T i j  t t C c  = = 是常方阵。 充分性：设 ( ) ( ) T  t t C  = 是非异的常方阵，由于基解阵  是非异的，则 T 1  C − =  也非 异，两边关于 t 求导得： ( ) T 1  C −   =  ， (1) 再对恒等式 1 I −   = 两边关于 t 求导得： ( ) 1 1 0 − −      = ＋  ，从而得： ( ) − − − 1 1 1      ＝－  （2） 代入（1）得 ( ) T T 1 1 1 1 1   C A A − − − − −    =     =   = − ＝－C －C 即： T T    = − A ，两边取转置得    = −A ， 即  (t) 为方程组 ( ) T y A t y  = − 的基解阵。证毕 4. 设 A 为 n 阶 常 方 阵 ， (t) 为 方 程 组 x Ax  = 的 标 准 基 解 阵 ， 试 证 ： 对 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 t t R t t t t , −     =  − 有

证：由于中()中'（亿）=中(1-)的两边都是基解阵，且在1=时相等。由微分方程 矩阵解的唯一性得知，这两个基解阵相等。证毕 5.设A)和子()分别为在[a,b]上的连续的n阶方阵和n维矢量，证明方程组 x=A(0x+了)，了)不恒等于零，存在且最多存在n+1个线性无关解 证：设Φ()为对应的齐次方程组的基解阵，⑨，（①是平(）的第j列，(（为非齐次方程 组的任一特解，则o(t)=0(0),以，()=p(+p,(),j=1,2.n,是非齐次方程组的 n+1个解，现证它们线性无关，用反证法。若它们线性相关，则存在n+1个不全为零的常 数c',j=l,2.n，使得c√9,0=0，即∑c可，()=-∑c可，()，有 9,(),j=1,2,.n+1的线性无关性，可知∑c≠0，所以()是对应的齐次方程组的 解，与假设@()为非齐次方程组的特解矛盾。 再证非齐次方程组最多存在n+1个线性无关解，用反证法，若9()，j=1,2.n+1是非 齐次方程组的n+2个线性无关解，则可见p,()=,()-%(),j=1,2,n+1是齐次方 程组的n+1个线性无关解。矛盾 6试证线性非齐次方程组的叠加原理：设x()和：()分别是方程组x=A()x+厂()和 x=A0x+万()的解，则x()+x()是方程组x=A()x+了(+万(U)的解。 7.试求初值问题x=A行+了(x),x(0)=(L,-1)的解(，其中 460- 「01 8给定方程组x=A()x+f()其中A= 011 -7-8了0在[0，+网)上连线，试直接验 证或利用常数变易公式证明： 007为=40的基解 ()若了()在[0，+∞)上有界，则x-A(Ux+于()的每一个解在[0，+∞)上有界：

证：由于 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 t t t t −   =  − 的两边都是基解阵，且在 0 t t = 时相等。由微分方程 矩阵解的唯一性得知，这两个基解阵相等。证毕 5. 设 A t( ) 和 f t( ) 分 别 为在 a b,  上 的 连续 的 n 阶 方阵 和 n 维 矢量 ，证 明方 程 组 x A t x f t ( ) ( )  = + ， f t( ) 不恒等于零，存在且最多存在 n+1 个线性无关解。 证：设 (t) 为对应的齐次方程组的基解阵，  j (t) 是 (t) 的第 j 列，  (t) 为非齐次方程 组的任一特解，则      0 (t t t t t j n ) = = + = ( ), , 1,2,. , j ( ) ( ) j ( ) 是非齐次方程组的 . 1 n + 个解，现证它们线性无关，用反证法。若它们线性相关，则存在 . 1 n + 个不全为零的常 数 , 1,2,. j c j n = ， 使 得 ( ) 0 j j c t  = ， 即 ( ) ( ) 0 1 n n j j j j   c t c t   = − ， 有  j (t j n ), 1,2,. 1 = + 的线性无关性，可知 0 0 n j  c  ，所以  (t) 是对应的齐次方程组的 解，与假设  (t) 为非齐次方程组的特解矛盾。 再证非齐次方程组最多存在 n+1 个线性无关解，用反证法，若 ( ), 1,2,. 1 j  t j n = + 是非 齐次方程组的 n+ 2 个线性无关解，则可见 j ( ) ( ) 0 ( ), 1,2,. 1 j    t t t j n = − = + 是齐次方 程组的 n+1 个线性无关解。矛盾 6.试证线性非齐次方程组的叠加原理：设 x t 1 ( ) 和 x t 2 ( ) 分别是方程组 x A t x f t ( ) 1 ( )  = + 和 x A t x f t ( ) 2 ( )  = + 的解，则 x t 1 ( ) ＋ x t 2 ( ) 是方程组 x A t x f t f t ( ) 1 2 ( ) ( )  = + + 的解。 7.试求初值问题 x Ax f x( )  = + ， (0 1, 1 ) ( ) T x = − 的解  (t) ，其中 2 1 0 2 A   =     ， ( ) 2 0 t f t e   =     答：解为： ( ) 2 2 1 , 1 2 T t t  t e t t   = − + − +     8.给定方程组 x A t x f t ( ) ( )  = + 其中 0 1 7 8 A   =     − − ， f t( ) 在 0,+) 上连续，试直接验 证或利用常数变易公式证明： （） ( ) 7 7 7 t t t t e e t e e − − − −   −  =     − 为 x A t x ( )  = 的基解阵； （）若 f t( ) 在 0,+) 上有界，则 x A t x f t ( ) ( )  = + 的每一个解在 0,+) 上有界；

()若当1→+0时，了0→0，则x=A0x+于()的每一个解 p(0满足：当1→+∞时，p()→0。 证： 0直接验证可得：Φ0。一49e」 所以4仲()=中'(，即D()为x=A()x的基解阵 ()设了()=maxU)≤M,由常数变易公式，解可表示为 p(0)=Φ(t)c+[Φ(t-s)f(ss 则o)sΦ()+Φu-sF(sd 根据(=7e+e,F()≤M,可得 (l水s(7e+e)）+[7e-+et-]wd =(7er+e)+M[7e-+et-u]≤8+2M ()设了()≤M,且任意给定的e>0存在T>0, 使得t>T时，厅()≤6，从而当>T时 (s(7e"+e)+[7e-+et-]M+[7e-+e-]ad =(e"+e'）l+M[7e-+et-]+s[7e-+et-了 ≤(7e"+e)+M[7e-n+e-n]+2s 所以当t个T)充分大时，p()≤4e。由e的任意性得，当1→+oo时，(@)→0 9.设n阶方阵A)在[a,b)上连续，()为方程组￥=A()x的标准基解阵。 n维函数矢量f亿，x)关于1∈[a,b小，x∈R"连续，6∈[a,],试证初值问题 ￥=A0)x+f,)x()=x(0)

（ ） 若 当 t f t → + → 时，( ) 0，则 x A t x f t ( ) ( )  = + 的每一个解   (t t t )满足：当 → + → 时，( ) 0。 证： （）直接验证可得： ( ) 7 7 7 49 t t t t e e t e e − − − −    =      － － 而 ( ) 7 7 7 7 0 1 7 7 8 7 49 t t t t t t t t e e e e A t e e e e − − − − − − − −      −  = =        − −     − － － 所以 A t t  =  ( ) ( ) ，即 (t) 为 x A t x ( )  = 的基解阵 （）设 f t f M ( ) =  max ( j ) ，由常数变易公式，解可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t  t t c t s f s ds   −  = + 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t  t t c t s f s ds   +  −  根据 ( ) ( ) 7 7 , t t t e e f t M − −  = +  ，可得 ( ) ( ) 7 7( ) ( ) 0 7 7 t t t t s t s  t e e c e e Mds − − − − − −  + + +      ( ) 7 7( ) ( ) 7 7 8 2 t t t t s t s o e e c M e e c M − − − − − − = + + +  +     （）设 f t M ( )  ，且任意给定的    0 0, 存在T 使得t>T时，f t t T ( )   ，从而当 时 ( ) ( ) 7 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 7 7 7 T t t t t s t s t s t s T   t e e c e e Mds e e ds − − − − − − − − − −  + + + +           ＋ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 2 T t t t t s t s t s t s o T t t t T t T e e c M e e e e e e c M e e   − − − − − − − − − − − − − − − − = + + + + +          + + + +     所以当 t >T ( ) 充分大时，   (t)  4 。由  的任意性得， 当t t → + → 时， ( ) 0 9.设 n 阶方阵 A t a b ( )在 ,  上连续， (t) 为方程组 x A t x ( )  = 的标准基解阵， n 维函数矢量 ( , , , , )   0   n f t x t a b x R t a b 关于    连续， ，试证初值问题 x A t x f t x x t x ( ) ( , , 0 ) ( 0 ) ( )  = + =