第三章一阶微分方程的解的存在定理 本章内容介绍 在第二章我们介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的若干类型，但是，对许多微分方程， 例如形式上很简单的里卡蒂方程y=x2+y严就不能用初等积分法求解，于是就产生了这样一个问题： (1)一个不能用初等积分法求解的徽分方程是否意味着没有解呢？ 而在实际问题中，所需要研究的是满足某种初始条件的解，所以我们又会遇到这样一个问题： (2)当方程有解时，它的解是否唯一呢？ 例如：微分方程的奇解问题，过它上的每一点都至少两条积分曲线存在。 无从谈起。西(cac,789 -1857)在19世纪20年代第 唯一性定理。人们称之为柯西问题。 密= (即：考虑初值问题： y()=% ,若函数f(x,)在包含(，片)的凸形区域D内对y有连续 的偏微商，则初值问题的解存在并且是唯一的) 在1876年，利普希茨((lipschit忆，1832-1903)减弱了柯西定理，（即把函数f(x,y)在包含(o,%)的 凸形区域内对y有连续的偏微商的条件减弱到对y满足利普希茨条件)得到了新的解的存在唯一性定理。 在1893年皮卡(picard,1856-1941)用逐次逼近法对定理给出了一个新证明。此外，佩亚诺(pean0,1858 一1932)在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（即只要求∫(x,y)在区域D内连续）（不顾 及唯一性)本章主要介绍和证明一阶方程的解的存在唯一性定理，并介绍解的一般性质，如解的延拓、解 自己看书，若时间允许，我只作简单介绍。 S3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的：正确理解、掌握解的存在唯一性定理，掌握证明唯一性定理所用的皮卡的逐步迭代法的思想。 3.1.1存在唯一性定理 (1)首先考虑导数已解出的一阶微分方程： 盗=)B0, 这里f(x,)是在矩形域R:|x-x≤a,|y-≤b上的连续函数。 我们先介绍一个条件，函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希茨条件(Lipschitz)简称李氏条件， 第1页共21页
第 1 页 共 21 页 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 本章内容介绍 在第二章我们介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的若干类型，但是，对许多微分方程， 例如形式上很简单的里卡蒂方程 2 2 y x y = + 就不能用初等积分法求解，于是就产生了这样一个问题： （1）一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？ 而在实际问题中，所需要研究的是满足某种初始条件的解，所以我们又会遇到这样一个问题： （2）当方程有解时，它的解是否唯一呢？ 例如：微分方程的奇解问题，过它上的每一点都至少两条积分曲线存在。 所以，这是一个基本问题，不解决这个问题，对于微分方程的进一步研究（无论定性还是定量）就 无从谈起。柯西（cauchy,1789－1857）在 19 世纪 20 年代第一个成功建立了微分方程初值问题解的存在和 唯一性定理。人们称之为柯西问题。 （即：考虑初值问题： ( ) ( 0 0 ) , dy f x y dx y x y = = ，若函数 f x y ( , ) 在包含 ( x y 0 0 , ) 的凸形区域 D 内对 y 有连续 的偏微商，则初值问题的解存在并且是唯一的） 在 1876 年，利普希茨（lipschitz,1832-1903）减弱了柯西定理，（即把函数 f x y ( , ) 在包含 ( x y 0 0 , ) 的 凸形区域内对 y 有连续的偏微商的条件减弱到对 y 满足利普希茨条件）得到了新的解的存在唯一性定理。 在 1893 年皮卡（picard,1856－1941）用逐次逼近法对定理给出了一个新证明。此外，佩亚诺（peano，1858 －1932）在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（即只要求 f x y ( , ) 在区域 D 内连续）（不顾 及唯一性）本章主要介绍和证明一阶方程的解的存在唯一性定理，并介绍解的一般性质，如解的延拓、解 对初值的连续性和可微性等，此外，还引进奇解的概念及介绍求奇解的两种方法。 我们只是定性研究一阶方程的解的存在唯一性定理及解的一般性质，对于奇解的概念与解法同学们 自己看书，若时间允许，我只作简单介绍。 §3。1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的：正确理解、掌握解的存在唯一性定理，掌握证明唯一性定理所用的皮卡的逐步迭代法的思想。 3．1．1 存在唯一性定理 （1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程： ( , 3.1 ) ( ) dy f x y dx = ， 这里 f x y ( , ) 是在矩形域 0 0 R x x a y y b : , − − 上的连续函数。 我们先介绍一个条件，函数 f x y ( , ) 称为在 R 上关于 y 满足利普希茨条件（Lipschitz）简称李氏条件
如果存在常数L>0,使得不等式/(x,y)-f(x,乃2≤L以-，对于所有(x,),(x,乃)∈R都成 立，L称为利普希茨常数。 定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程(3.)存在唯一的解y=(x), 定义于区间x-x≤h上，连续且满足初始条件()=%(3.2)， 这显=m)M路/( 分析：证明的主要思想是： （)证明求微分方程的初值问愿的解等价于求积分方程：y=儿+∫(x,:的连续解： (2)证明积分方程的解的存在唯一性。 采用的方法是皮卡逐步通近法。构造皮卡序列：任取一个连续函数%(x)代入上面积分方程的右端 的y,得到函数：9(x)=+f(x,(x)女，显然g()也是连续函数，如果g(x)=%(x),则 y=%(x)就是积分方程的解。否则，再将%(x)代入积分方程的右端的y,得到函数 (x)=+f(x,g(x),如果(x)=(x),则y=9(x)就是积分方程的解，否则，继续这 个步骤，得到函数：9(x)=+广f(x,p-1(x):(33),于是得到函数序列：马(x),%(x),. p(x),.,称这样构造的序列为皮卡序列，如果(x)=(x),则y=(x)就是积分方程的解。 如果始终不发生这样的情况，我们可以证明这个函数序列收敛到一个极限函数，即：Iim?(x)=p(x) 因而，对(3.3)取极限，就得到： ma.(6)=%+imf飞()本二%+mfk,()%+fke(s)64) 即：p(x)=为+广∫(x,p(x)女，所以，y=p(x)就是积分方程的解，从而存在性得到证明。这种 步一步地求出方程的解的方法，就称为逐步逼近法。由(3.3)所确定的函数(x)称为初值问题的第n次 近似解。在定理的条件下，以上步骤是可以实现的。 本教材将定理的证明分成五步，下面为研究方便，我们只就区间x≤x≤。+h来讨论，对于 无-h≤x≤x。的讨论类似 命题1：设y=p(x)是方程(3.1)的定义于区间x。≤x≤x+h上，满足初始条件p(x)=片的解， 第2页共21页
第 2 页 共 21 页 如果存在常数 L 0 ，使得不等式 f x y f x y L y y ( , , 1 2 1 2 ) − − ( ) ，对于所有 ( x y x y R , , , 1 2 ) ( ) 都成 立， L 称为利普希茨常数。 定理 1 如果 f x y ( , ) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希茨条件，则方程 (3.1) 存在唯一的解 y x = ( ) ， 定义于区间 0 x x h − 上，连续且满足初始条件 ( x y 0 0 ) = (3.2) ， 这里 ( ) ( ) , min , , max , x y R b h a M f x y M = = 分析： 证明的主要思想是： （1）证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程： ( ) 0 0 , x x y y f x y dx = + 的连续解； （2）证明积分方程的解的存在唯一性。 采用的方法是皮卡逐步逼近法。构造皮卡序列：任取一个连续函数 0 ( x) 代入上面积分方程的右端 的 y ，得到函数： ( ) ( ( )) 0 1 0 0 , x x x y f x x dx = + ，显然 1 ( x) 也是连续函数，如果 1 0 ( x x ) = ( ) ，则 y x =0 ( ) 就是积分方程的解。否则，再将 1 ( x) 代入积分方程的右端的 y ，得到函数： ( ) ( ( )) 0 2 0 1 , x x x y f x x dx = + ，如果 2 1 ( x x ) = ( ) ，则 y x =1 ( ) 就是积分方程的解，否则，继续这 个步骤，得到函数： ( ) ( ( )) ( ) 0 0 1 , 3.3 x n n x x y f x x dx = + − ，于是得到函数序列： 0 ( x) ，1 ( x) ，.， n ( x)，.，称这样构造的序列为皮卡序列，如果 n n +1 ( x x ) = ( ) ，则 y x =n ( ) 就是积分方程的解。 如果始终不发生这样的情况，我们可以证明这个函数序列收敛到一个极限函数，即： lim n ( ) ( ) n x x → = ， 因而，对 (3.3) 取极限，就得到： ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 1 2 0 1 0 1 0 lim lim , lim , , 3.4 x x x n n n n n n x x x x y f x x dx y f x x dx y f x x dx − − → → → = + = + = + 即： ( ) ( ( )) 0 0 , x x x y f x x dx = + ，所以， y x = ( ) 就是积分方程的解，从而存在性得到证明。这种一 步一步地求出方程的解的方法，就称为逐步逼近法。由 (3.3) 所确定的函数 n ( x) 称为初值问题的第 n 次 近似解。在定理的条件下，以上步骤是可以实现的。 本教材将定理的证明分成五步，下面为研究方便，我们只就区间 0 0 x x x h + 来讨论，对于 0 0 x h x x − 的讨论类似。 命题 1：设 y x = ( ) 是方程 (3.1) 的定义于区间 0 0 x x x h + 上，满足初始条件 ( x y 0 0 ) = 的解
则y=(x)是积分方程y=+f(x,y女≤x≤x+h(3.S)的定义于≤x≤x+h上的连 续解，反之亦然 证明：因为y=p(问是方程（B)的解，故有o(因。飞0(》，两边从5到x取定积分得到 dx p(x)-(x)=f(x,p(x)女x≤x≤x+h, 把初始条件p()=%代入上式即有：(x)=%+f(x,p(x)≤x≤x+h 因此，y=p(x)是(3.5)定义于x≤x≤x+h上的连续解。 反之，若y=p(x)是(3.5)的连续解，则有， p(x)=为+f(x,p(x)x≤x≤x+h(3.6) 对(3.6)微分得到 do因=fkp》,又把x=,代入66).得到p()卢” 因此，y=(x)是方程(3.)定义于x。≤x≤x,+h上，且满足初始条件(32)的解。证毕。 我们知道函数∫(x,y)是定义在R上的函数，于是有这样的问题，皮卡序列能否形成？ 即取()=，为∈y-≤b,代入积分方程有意义，可以得到g(x),而g(x)∈y-为≤b能否 成立呢？若不成立，∫(x,?(x)就没有意义，所以也就无法构造皮卡序列了。所以下面要证 g(x)∈y-。≤b,对所有的n都成立。 命题2：对于所有的n,(3.3)中的函数0(x)在x≤x≤x+h上有定义、连续且满足不等式 lo(x)-yo sb 证明（用数学归纳法证明）当n=1时，9()=为+八(5,5，显然在%≤x≤，+h上有定义、 连续且有：A()-为l=f(56)d5s/(5%)5sM(x-x)sMh≤b 假设当n=k时命题2成立，考察当n=k+1时有p(x)=%+广f(5,9,()5 由假设，可知9：(x)在x≤x≤+h上有定义、连续且有 o()-(.0(5)gsM(x-x)sMhsb 所以，命题2得证。 第3页共21页
第 3 页 共 21 页 则 y x = ( ) 是积分方程 ( ) ( ) 0 0 0 0 , 3.5 x x y y f x y dx x x x h = + + 的定义于 0 0 x x x h + 上的连 续解，反之亦然。 证明：因为 y x = ( ) 是方程 (3.1) 的解，故有 ( ) ( , ( )) d x f x x dx ，两边从 0 x 到 x 取定积分得到 ( ) ( ) ( ( )) 0 0 0 0 , x x x x f x x dx x x x h − + ， 把初始条件 ( x y 0 0 ) = 代入上式即有： ( ) ( ( )) 0 0 0 0 , x x x y f x x dx x x x h + + 因此， y x = ( ) 是 (3.5) 定义于 0 0 x x x h + 上的连续解。 反之，若 y x = ( ) 是 (3.5) 的连续解，则有， ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 0 , 3.6 x x x y f x x dx x x x h + + 对 (3.6) 微分得到 ( ) ( , ( )) d x f x x dx ，又把 0 x x = 代入 (3.6) ，得到 ( x y 0 0 ) = 因此， y x = ( ) 是方程 (3.1) 定义于 0 0 x x x h + 上，且满足初始条件 (3.2) 的解。证毕。 我们知道函数 f x y ( , ) 是定义在 R 上的函数，于是有这样的问题，皮卡序列能否形成？ 即取 0 0 ( x y ) = ， 0 0 y y y b − ，代入积分方程有意义，可以得到 1 ( x) ，而 1 0 ( x y y b ) − 能否 成立呢？若不成立， f x x ( ,1 ( )) 就没有意义，所以也就无法构造皮卡序列了。所以下面要证 n ( ) 0 x y y b − ，对所有的 n 都成立。 命题 2： 对于所有的 n，(3.3) 中的函数 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上有定义、连续且满足不等式 n ( ) 0 x y b − 证明：（用数学归纳法证明）当 n =1 时， ( ) ( ) 0 1 0 0 , x x x y f y d = + ，显然在 0 0 x x x h + 上有定义、 连续且有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 , , x x x x x y f y d f y d M x x Mh b − = − 假设当 n k = 时命题 2 成立，考察当 n k = +1 时有 ( ) ( ( )) 0 1 0 , x k k x x y f d + = + 由假设，可知 k+1 ( x) 在 0 0 x x x h + 上有定义、连续且有 ( ) ( ( )) ( ) 0 1 0 0 , x k k x x y f d M x x Mh b + − − 所以，命题 2 得证
在(6到中果们看到等号间即有口了®妆-小ka(向女度之，这多集要来 1m,()=()是一致收敛。否则极限符号是不能与积分号交换次序。所以接下米就有命题3。 命题3：函数序列{P(x)}在x≤x≤x。+h上是一致收敛的。 根据序列{包.()》在≤x≤%+h上的一致收敛性等价于级数()+[0.()-(]（仔.7） 一致收敛，所以，只须证明级数(3.7)在x。≤x≤x。+h上一致收敛，为此由(33)知 A()-%(sy(5A(传)≤M(x-x)(B.8) 及 m,()-A(sfr(5.a(传)-f(5,a(传)5， 利用利普希茨条件及(3.8)得到 网(-a(s网（传）-%（传5sM传-5=(x-x》 爱对于王套数，不停大国-6(：-厂广使之，则由相指香赛系作，当气5S式+h p1(x)-p(x≤f(5,p.()-f（5,p1(5)AE 时，有 4同6：g5-5-r 于是由数学归纳法得知，对所有的正整数k,有如下的估计 风-a.(ose-∫sxs%+hB9 从而可知，当x≤x≤0+h时， a间-e:答#e0 百正用要数立证答是收数的，由能民判附陆，盛数B列在名≤气+h上致收致，因面序 {(x}也在x。≤x≤x+h上一致收敛。证毕。 现设imp()=p(x),由于{o(}在≤x≤+h上一致收敛于p(),所以p()也在 第4页共21页
第 4 页 共 21 页 在 (3.4) 中我们看到等号 (1) = ，即有 ( ( )) ( ( )) 0 0 1 1 lim , lim , x x n n n n x x f x x dx f x x dx − − → → = 成立，这必须要求 lim n ( ) ( ) n x x → = 是一致收敛。否则极限符号是不能与积分号交换次序。所以接下来就有命题 3。 命题 3：函数序列 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上是一致收敛的。 根据序列 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上的一致收敛性等价于级数 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3.7 k k k x x x − = + − 一致收敛，所以，只须证明级数 (3.7) 在 0 0 x x x h + 上一致收敛，为此由 (3.3) 知 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 , 3.8 x x x x f d M x x − − 及 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) 0 2 1 1 0 , , x x x x f f d − − ， 利用利普希茨条件及 (3.8) 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 1 1 0 0 0 2 ! x x x x ML x x L d L M x d x x − − − = − 设对于正整数 n ，不等式 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! n n n n ML x x x x n − − − − 成立，则由利普希茨条件，当 0 0 x x x h + 时，有 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 0 0 , , ! 1 ! x n n n n x n n x x n n n n x x x x f f d ML ML L d x d x x n n + − + − − − − − = − + 于是由数学归纳法得知，对所有的正整数 k ，有如下的估计 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 3.9 ! k k k k ML x x x x x x x h k − − − + − 从而可知，当 0 0 x x x h + 时， ( ) ( ) ( ) 1 1 3.10 ! k k k k ML x x h k − − − 而正项级数 1 1 ! k k k h ML k − = 是收敛的，由维氏判别法，级数 (3.5) 在 0 0 x x x h + 上一致收敛，因而序列 n ( x) 也在 0 0 x x x h + 上一致收敛。证毕。 现设 lim n ( ) ( ) n x x → = ，由于 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上一致收敛于 ( x) ，所以 ( x) 也在
名5x≤6+h上连续，且()-为sb,再根据了区，)的连续性，有34)中等号侣）成立，就得到 (x)=%+广f(x,(x)女成立，从而(x)是积分方程(3.3)的一个解。下证该解是连续的。 命题4p(x)是积分方程(3.3)的定义于x≤x≤+h上的连续解。 i证明：由利普希茨条件，(x,(x)》-f(x,p(x)训≤Lp(x)-p(x以及{(x)》在x≤x≤x+h上 一致收敛于(x),即知序列{(x}={f(x(x)》在x≤x≤x+h上一致收敛于f(x,(x) 因而对(3.4)式两边取极限，得到： lim (x)=+limf(x.(x)=+limf(x.(x))dx 即： (x)=%+∫广f(x,(x) 这就是说，p(x)是积分方程(3.3)的定义于x≤x≤+h上的连续解。 以上四个命题解决了初值问题的解的存在性。下面解决唯一性问题。 命题5设(x)是积分方程(3.3)的定义于x≤x≤+h上的另一个连续解，则p(x)三(x), x≤x≤x。+h 证明：先证w(x)也是序列{(x}的一致收敛的极限函数。 由于9(x)=,p(x)=%+f(5,p(5)15(n≥)，而w(x)=%+f(5,w(5)5 则有： ()-w(s/5,w(5)EsMe-x) a()-(s∫/(5%(5》-f5,(传) ≤Lo(5)-w(5)5 snG-%好-x 现段设国)-v(e创二(-小.么 ,()-w(xsy(5.(》-f(5,w(传5sLm()-v(传店 成立 ≤晋6-45a-x厂 第5页共21页
第 5 页 共 21 页 0 0 x x x h + 上连续，且 ( ) 0 x y b − ，再根据 f x y ( , ) 的连续性，有 (3.4) 中等号 (2) = 成立，就得到 ( ) ( ( )) 0 0 , x x x y f x x dx = + 成立，从而 ( x) 是积分方程 (3.3) 的一个解。下证该解是连续的。 命题 4 ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h + 上的连续解。 证明：由利普希茨条件， f x x f x x L x x ( , , n n ( )) − − ( ( )) ( ) ( ) 以及 n ( x) 在 0 0 x x x h + 上 一致收敛于 ( x) ，即知序列 f x f x x n n ( ) ( , ( )) 在 0 0 x x x h + 上一致收敛于 f x x ( , ( )) 因而对 (3.4) 式两边取极限，得到： ( ) ( ( )) ( ( )) 0 0 0 1 0 1 lim lim , lim , x x n n n n n n x x x y f x x dx y f x x dx − − → → → = + = + 即： ( ) ( ( )) 0 0 , x x x y f x x dx = + 这就是说， ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h + 上的连续解。 以上四个命题解决了初值问题的解的存在性。下面解决唯一性问题。 命题 5 设 ( x) 是积分方程 (3.3) 的定义于 0 0 x x x h + 上的另一个连续解，则 ( x x ) ( ) ， 0 0 x x x h + 证明：先证 ( x) 也是序列 n ( x) 的一致收敛的极限函数。 由于 ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 0 1 , , 1 x n n x x y x y f d n = = + − ，而 ( ) ( ( )) 0 0 , x x x y f d = + 则有： ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 , x x x x f d M x x − − ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 2 0 0 , , 2! x x x x x x x x f f d L d ML ML x d x x − − − − = − ， 现假设 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! n n n ML x x x x n − − − − ， 那么 成立， ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 0 0 , , ! 1 ! x x n n n x x n x n n x x x f f d L d ML ML x d x x n n − − + − − − − = − +