有理函数的积分-有理函数积分法

BCA1例2X+x(x-1)2(x-1)2x-1x1= A(x -1)2 + Bx(x -1)+Cx.D（综合法令x=0, =→A=1; 令x=1, =→C=l;比较二次项的系数:得 0=A+B,=B=-A=-1.111(x-1)x(x-1)x一1x8/32

2 ( 1 ) 1 x x − , 1 ( 1 ) 2 − + − = + x C x B xA 1 ( 1 ) ( 1 ) . 2  = A x − + Bx x − + Cx 令 x = 0 ,  A = 1 ; 令 x = 1 ,  C = 1 ; 比较二次项的系数， . ( 1) 1 1 1 1 2 − + − = − x x x 2 ( 1) 1−  x x 例2  B = −A= −1. （综合法） 8/32 得 0 = A + B

1ABx + C例31+x?(1+ 2x)(1+ x2)1+ 2x1= A(1 + x) +(Bx +C)(1 + 2x),（综合法1/今Ax==25令 x=0,得1=A+C = C:52B=比较一次项的系数得0=B+2C=524x+155(1+2x)(1 + x)1+2x1+x9/32

例 3 . 1 51 52 1 254 2 xx x + − + + + = (1 2 )( 1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x , 21 令 x = − , 1 2 1 2 x Bx C x A ++ + + = (1 2 )( 1 ) 1 2 + x + x  ; 54  A = 令 x = 0 , 得 1 = A + C ; 51  C = 比较一次项的系数， . 52  B = − （综合法） 9/32 得 0 = B + 2 C

24x+55?2)dx(+2x)(1+x)dx=J(例42x2dx-dxdx+一22751+2x1+x+d(1 + 2x)-d(l+xd1+2x=In |1+ 2x|-=ln(1+ x°)+=arctan x +C.5510/32

例4 dx x x x ) 1 5 1 5 2 1 2 5 4 ( 2 + − + + + =   + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 (1 2 ) 1 2 1 5 2 d x x + + =  arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln | 1 2 | 5 2 2 = + x − + x + x + C  + + − (1 ) 1 1 5 1 2 2 d x x dx x  + + 2 1 1 5 1    + + + − + = dx x dx x x dx x 2 2 1 1 5 1 5 1 2 1 2 1 5 4 10/32

卜例5dx2-x+1)2X分解为部分分式之和(2-x+1+(x-1)没有用待定系数法dx(x2-x+1)x-1Ddx2(x1)-x+1-x+1x分母配成完全平方d(x - )=(x -) +(1- 4)(x- )-2)d(x- )[(x - )~ +(1 - 4)]11/32

例 5  − + − + + − = dx x x x x x 2 2 2 ( 1) 分解为部分分式之和 ( 1 ) ( 1 )  − + dx x xx 2 2 2 ( 1 ) dx x x x x x ) ( 1 ) 1 1 1 ( 2 2 2 − + − + − + =  ) ( ) [( ) (1 )] ( ) ( ) (1 ) ( ) 21 2 41 2 21 21 21 41 2 21 21 − − + − − − + − + − − =  d x x x x d x 分母配成完全平方 （没有用待定系数法） 11/32

注（1）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的积分一定可以“积出来”(2)有理函数的积分总可以“程序化地”求出来；（3）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求法。13/32

注（1）有理函数的原函数都是初等函数； 有理函数的积分一定可以“积出来”； （2）有理函数的积分总可以“程序化 地”求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有 特定的简便求法。 13/32