三.定义与性质 K心 1.定义 设Σ为光滑或分片光滑的有向曲面, v={P(x,y,z),Q(x,yz),R(x,y,z)}在Σ上有定义且连续 (1)将Σ任意分成n个小片△S(也表面积,△S在xoy (y0x,zOx)面上的投影为△S)x(△AS)(△S;)xl; (2)VM(Si,ni, S)EAS, An(Mi)=cosai, cos Bi, cosy i, v(M2)={P(5;i,5),Q(91,n5;),R(5,n2,5z)}; 作和∑v(M1)m(M1),△S i=1 2IP(Si, ni, Si)cosa; +Ocos Bi+RcosyilAS
三.定义与性质 1. 定义 设为光滑或分片光滑的有向曲面, = {P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)}在上有定义且连续, ( , ) ( ) [( ) ,( ) ]; (1) ( ), i x y i yz i zx i i yoz zox S S S n S S xoy 面上的投影为 将 任意分成 个小片 也表面积 在 ( ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}; (2) ( , , ) , ( ) {cos , cos , cos } , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i M P Q R M S n M = = 有 i i n i Mi n M S = ( ) ( ) 1 作 和 i i i i i i i n i = P + Q + R S = [ ( , , ) cos cos cos ] 1
∑P(5,m,5)(△S)yz+QAS)a+R(△S)syl (3)取礼=mxAS的直径若lim∑v(M1)(M1)△S 1≤i<n →0i=1 lim IP(Si,ni, Si)cosa;+2cos B +RcosrilAS - =Iim∑P(5,7,9)AS)yz+Q(AS)2x+R(△AS)y 的存在与M的取法和的分法无关则称此极限值为 在Σ上的∏型曲面积分,或对坐标的曲面积分记为 ∫ Jv nds=∫( Pcos+ Ocos B+ RosY)S ∑ JJP(x, 3, z)dydz+o(x, 3,2)dzdx+R(x,y, z)dxdy K心
[ ( , , )( ) ( ) ( ) ] 1 i i i i yz i zx i x y n i = P S + Q S + R S = (3) max{ }, 1 取 i的直径 i n = S i i n i Mi n M S → = lim ( ) ( ) 1 0 若 i i i i i i i n i = P + Q + R S → = lim [ ( , , ) cos cos cos ] 1 0 lim [ ( , , )( ) ( ) ( ) ] 1 0 i i i i yz i zx i x y n i = P S + Q S + R S → = 的存在与Mi的取法和的分法无关,则称此极限值为 ndS = (P cos + Qcos + Rcos )dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . = P x y z dydz + Q x y z dzdx+ R x y z dxdy 在上的II型曲面积分,或对坐标的曲面积分.记为