Chapter 5(6) 微分方程小结 K<DDI
Chapter 5(6) 微分方程小结
内容小结 1.基本概念 微分方程,微分方程的阶,微分方程的解, 初始条件,初值问题 2.线性微分方程解的结构理论 y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解,那末y=C1y+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是常 数) K
一、内容小结 1．基本概念 微分方程，微分方程的阶，微分方程的解， 初始条件，初值问题 2．线性微分方程解的结构理论 y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 定理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数）
定理2:如果y;(x)与y2(x)是方程1)的两个线 性无关的特解,那么y=C1y1+C2y2就是方程1) 的通解 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+o(r)y=f() 的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程()的通 解,那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分方程(2 的通解
定理 2：如果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1) 的通解. 定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解
定理4设非齐次方程(2)的右端∫(x)是几个函 数之和,如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)+f2(x) 而y与y2分别是方程 y+P(x)y+o(xy=f(x) 解的叠加原理 y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的特解,那么y+y2就是原方程的特解 定理5 设1与y2是y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的两个特解 则v1-y2是y"+P(x)y+Q(x)y=0的特解
定 理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y + Q x y = f x + f x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f1 x ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 2 x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理 ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) ( ) , 5. * 2 * 1 * 2 * 1 则 是 的特解 设 与 是 的两个特解 定理 − + + = + + = y y y P x y Q x y y y y P x y Q x y f x
K心 3.一阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 y=M(x)N(y) dy_(M(x)d N(y) y=f() 作变量代换u= y=∫( ax+ by+c 令x=X+h,y=Y+k ax+by+Cl y'+P(x)y=e(x)y+e P(x)dx go( Po dx +C y+Px)y=g(x)y2=hP(x2=(1-nQx)
3．一阶微分方程及解法比较 微分方程 解法 y = M(x)N( y) = M x dx N y dy ( ) ( ) ( ) x y y = f x y 作变量代换 u = ( ) 1 1 1 a x b y c ax by c y f + + + + = 令x = X + h, y =Y + k y + P(x) y = Q(x) ( ( ) ) ( ) ( ) y e Q x e dx C P x dx P x dx + = − n y + P(x) y = Q(x) y n z y − = 令 1 z + (1− n)P(x)z = (1− n)Q(x)